Udowodnij kaktus:

	a		b
Udowodnij, że jeżeli a > b ≥ 1 to		<
	2+a3		2+b3

Benny:

	x
Wykaż, że funkcja f(x)=		jest malejąca
	2+x3

g:

	x		2+x3 − 3x3		2−x3
f(x) =		, f ' =		=
	2+x3		(2+x3)2		(2+x3)2

Dla x > 1 pochodna jest ujemna, a więc f(a) < f(b).

Jack: zarowno a jak i b sa dodatnie, zatem 2+a³ i 2+b³ jest dodatnie, wiec mozna pomnozyc, bo znaku nierownosci nam to nie zmieni. Przeksztalcajac nierownosc rownowaznie, otrzymuje :

a		b
	<		/*(2+b3) /*(2+a3)
2+a3		2+b3

a(2+b³) < b(2+a³) 2a + ab³ − 2b − a³b < 0 − 2b + 2a + ab(b² − a²) < 0 −2(b−a) + ab(b−a)(b+a) < 0 (b−a)(−2 + ab(b+a)) < 0 −(a−b)(ab(b+a) −2) < 0 /*(−1) (a−b)(ab(b+a) −2) > 0 Skoro a > b to (a−b) jest wieksze od zera. Teraz nawias ab(b+a) − 2 skoro a > b ,a przeciez b ≥ 1 to ab(a+b) jest na pewno wiecej niz 2 zatem obydwa nawiasy dodatnie. Dodatnia liczba razy dodatnia daje liczbe dodatnia czyli > 0.

Krzysiek: Jack sie nieźle narobił... A można łatwiej.

b		a
	>
2+b3		2+a3

1		a
	>
3		2+a3

2+a³ > 3a a³−3a+2 > 0 (a−1)(a²+a−2) > 0 (a−1)²(a+2) > 0