Udowodnij: xcxcxc: Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |<A| = 90. Przeciwprostokatna BC ma dlugość a , dwusieczna AD kąta prostego ma długość d. Udowodnij, ze pole trójkata ABC jest równe P =¹₄ ( d² + d √d²+2a²

Mila:

	1
P=PΔABC=		b*c
	2

2P=b*c

	b*c√2
d=		/2
	b+c

	2b2c2
d2=
	(b+c)2

	2*(bc)2
d2=
	b2+2bc+c2

	8P2
d2=		⇔
	a2+4P

8P²=a²d²+4d²*P 8P²−4d²P−a²d²=0, P>0 Δ=16d²*(d²+2a²)

	4d2+4d*√d2+2a2		4d2−4d*√d2+2a2
P=		lub P=		<0
	16		16

	d2+d*√d2+2a2
P=
	4

================

Jack: Milu, Skad wiemy ze d=b*c√2/b+c?

Mila: Oznaczenia standardowe. Można to łatwo wyprowadzić. ΔBED∼ΔBCA

a−x		a
	=		⇔
x		b

x*a=b*(a−x) x*a=b*a−b*x x*a+x*b=a*b x*(a+b)=a*b

	a*b
x=
	a+b

	a*b√2
d=		jako przekątna kwadratu CFDE o boku x.
	a+b

==================================

Jack: Ok , faktycznie latwo, dzieki PS to w glowie wykonalas takie przeksztalcenis? ; o

Mila: Pamiętałam wzór (wyjątkowo), wyprowadzałam to wiele razy.

Mila: Masz jakiś inny pomysł na to pierwsze zadanie? Robiłam z porównania pól.

xcxcxc: O co chodzi w tym fragmencie? 8P²−4d²P−a²d²=0, P>0 Δ=16d²*(d²+2a²)

Mila: Rozwiązujesz równanie kwadratowe, niewiadomą jest P. Oznacz sobie P=x Masz równanie: 8x²−4d²*x−a²d²=0 a i d masz dane.

xcxcxc: okok, dzięki wielkie A czy jest jakieś rozwiązanie, bez wyliczania delty, bo nie robiliśmy jeszcze równań kwadratowych?

Mila: Pomyślę. Na pewno jest, skoro podano takie zadanie przed równaniami kwadratowymi. W której klasie jestś, dostosuję rozwiązanie do do materiału.

xcxcxc: 1 liceum

Jack: ja mialem funkcje kwadratowa przed planimetria... hmm

	1
miales moze wzor na pole trojkata		a b sin α ?
	2

powinienes go juz miec...

Jack: z twierdzenia o dwusiecznej (chyba jest w 1 klasie?)

c		b
	=
a−x		x

cx = b(a−x) cx = ba − bx cx + bx = ba x(c+b) = ba

	ba
x =
	c+b

	ba		a(c+b) − ab		ac + ab − ab		ac
a−x = a −		=		=		=
	c+b		c+b		c+b		c+b

y = d√2 z pitagorasa (c−d√2)² + (d√2)² = (a−x)² i nic z tego nie wyjdzie... wklejam , moze sie komus przyda, nwm jak to rozwiazac (bez znajomosci np. rownania kwadratowego czy funkcji sin/cos)

Mila: Jeżeli jesteś już prawie w drugiej, to miałeś wzory skróconego mnożenia i zadania z nimi związane. Rozwiążemy równanie bez delty. (takie zadania były w I klasie) Zadanie dla Ciebie trudne, bo nie ma konkretnych liczb. 8x²−4d²*x−a²d²=0⇔ 8x²−4d²*x=a²*d² /:8

	1		a2d2
x2−		d2*x=		uzupełnimy lewą stronę do kwadratu dwumianu
	2		8

	1		1		1		a2d2
(x2−		d2x+		d4)−		d4=		⇔
	2		16		16		8

	1		1		a2d2
(x−		d2)2=		d4+		⇔
	4		16		8

	1		1		2a2d2
(x−		d2)2=		d4+		⇔
	4		16		16

	1		1
(x−		d2)2=		d2*(d2+2a2)⇔ pierwiastkujemy obustronnie
	4		16

	1		d*√d2+2a2
x−		d2=
	4		4

	1		d*√d2+2a2
x=		d2+
	4		4

	d2+d*√d2+2a2
P=
	4

=====================

xcxcxc: Dziękuje wam bardzo!

Mila: