Pochodna Benny: Czym jest pochodna funkcji Rⁿ w R^m? Dowiedziałem się że jest to odwzorowanie. Jak to odwzorowanie zapisać? Jak zapisać tą pochodną? Odpowiedzią na to pytanie jest odwzorowanie liniowe. Zapisać to możemy w postaci macierzowej, ale czy da się zapisać to jako normalne odwzorowanie nie w postaci macierzy?

jc: Taką pochodną dfiniuje się jako pewne przekształcenie liniowe. Jeśli funkcja ma ciągłe pochodne cząstkowe, to pochodna istnieje i jest opisana macierzą pochodnych cząstkoweych. Ale tak jak w przypadku funkcji R →R, pochodna zależy od punktu, w którym jest liczona. Tutaj w każdym punkcie Rⁿ możemy mieć inną macierz (przekształecenie liniowe).

Benny:

	f(x+h)−f(x)−L(x)
Jest wzór limh→0		jeśli ta granica jest równa 0 to pochodna
	||h||

istnieje. Jak mam funkcje F(x, y, z)=(x+y+z, xyz, x²y²z², x+2y+3z) to jak to tutaj będzie wyglądało to L(x) i pochodna nie macierzowo.

jc: W liczniku powinno być: f(x + h) − f(x) − L(x) h. Umknęlo Ci h. (x,y,z) = punkt w którym liczymy pochodną. h = (u,v,w) L (u,v,w) = (u + v + w, yz u + xz v + zy w, 2xy²z² u + 2x²yz² v + 2x²y²z w, u + 2v + 2w) Dla ustalonego (x,y,z), L jest przekształceniem liniowym z R³ w R⁴. Dla funkcji z R w R pochodna w punkcie to liczba (nachylenie stycznej).

Benny: Do czego tego się używa?

jc: hmm... Do ogólnego sfomułowania kilku twierdzeń (np. twierdzenie o funkcji uwikłanej) Dowody mogą być wtedy nawet prostsze. W przypadku R² →R istnienie pochodnej oznacza istnienie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji. W praktyce mamy mamy zwykle funkcje z ciągłymi pochodnymi cząstkowymi, wspomniana pochodna istnieje i nikt się nie przejmuje jakimiś subtelnościami.

Benny: Ok, dzięki. Czy wiesz skąd to odwzorowanie się bierze w tym wzorze?

jc: R → R: f(x+Δx) ≈ f(x) + a Δx R² →R: f(x+Δx, y+Δy) ≈ f(x,y) + a Δx + b Δy R →R³: (x(t+Δt), y(t+Δt), z(t+Δt)) ≈ (x(t),y(t),z(t)) + Δt * (v_x, v_y, v_z) Użyłem innych oznaczeń Możesz zastanowić się, jak uogólnić zwykłą pochodną. Ale możesz się tym pojęciem nie przejmować.