Równanie rekurencyjne stud24: Rozwiązać równanie rekurencyjne: a₀=1, a₁=8 a_n=4a_n−1+4a_n−2, n≥2. Dlaczego w pewnym momencie rozwiązania jest: r²−4r−4=0? Mógłby mi to ktoś wytłumaczyć i rozwiązać krok po kroku?

jc: Szukamy rozwiązań w postaci a_n=rⁿ. Podstawiamy do równania a_n+2 = 4 a_n+1 + 4 a_n. Po podzieleniu przez rⁿ otrzymujemy r²=4r+4, (r−2)²=8, r = 2 ± 2 √2. Ciągi (2 + 2 √2)ⁿ, (2 − 2 √2)ⁿ spełniają nasze równanie. Dowolna kombinacja liniowa wymienionych ciągów też spełnia nasze równanie. Współczynniki kombinacji dobieramy tak, aby być w zgodzie z warunkami a₀=1, a₁=8.

Mariusz: Nie lepiej skorzystać z funkcji tworzącej A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ Wstawiając do równania otrzymujemy ∑_n=2^∞a_nxⁿ=∑_n=2^∞4a_n−1xⁿ+∑_n=2^∞4a_n−2xⁿ ∑_n=2^∞a_nxⁿ=4x∑_n=2^∞a_n−1xⁿ⁻¹+4x²∑_n=2^∞a_n−2xⁿ⁻² ∑_n=2^∞a_nxⁿ=4x∑_n=1^∞a_nxⁿ+4x²∑_n=0^∞a_nxⁿ ∑_n=0^∞a_nxⁿ−1−8x=4x(∑_n=0^∞a_nxⁿ−1)+4x²∑_n=0^∞a_nxⁿ A(x)−1−8x=4x(A(x)−1)+4x²A(x) A(x)(1−4x−4x²)=4x+1

	4x+1
A(x)=
	1−4x−4x2

Rozkładasz funkcję tworzącą na sumę postaci

A1		A2
	+
1−λ1x		1−λ2x

aby otrzymać sumę szeregów geometrycznych Jeśli mianownik funkcji tworzącej miałby pierwiastki wielokrotne to pojawiłyby się pochodne szeregu geometrycznego Jeżeli funkcja tworząca nie byłaby funkcją wymierną to współczynniki mógłbyś dostać różniczkując ją

jc: Mariusz Tak jak równania różniczkowe (liniowe o stałych współczynnikach) rozwiązujesz podstawiając e^rt lub stosując transformatę laplace,a tak tutaj masz mozliwośc wyboru metody (zresztą są to analogiczne metody). Każda z tych metod ma jakieś zalety. Metoda z pdstawieniem kojarzy się z potęgowaniem przekształecnia liniowego: n →Mⁿ lub t →e^tM. Jak można, wybieram pierwszą metodę. Jednak, kiedy mam doczynienia ze splotem, wybieram drugą metodę.

Mariusz: W równaniach różniczkowych jakoś nie widziałem wygodniejszego obliczeniowo sposobu niż ten o którym wspominasz Podstawienie szeregu prowadziło do równania różnicowego którego nie wiedziałem jak rozwiązać (równania były liniowe ale współczynniki nie były stałe) W przypadku równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach szeregiem pewnie też by się jakoś łatwiej liczyło (nie próbowałem , stosowałem podstawienie y=e^λt)

jc: Odpowiednikiem metody funkcji tworzących jest metoda operatorowa ∑ a_n xⁿ ←→ ∫ f(t) e^−ts ds Tu i tam na koniec rozkładasz na ułamki proste.

Mariusz: W przypadku niejednorodnych mając funkcję tworzącą nie trzeba przewidywać Jak nam wyjdzie funkcja tworząca która nie jest funkcją wymierną to może być problem ze znalezieniem wzoru na n. pochodną Można skorzystać z wzoru Leibniza na n. pochodną iloczynu jeśli uda nam się znaleźć wzór na n. pochodną czynników Funkcja tworząca może prowadzić do równania różniczkowego Liniowe równanie rekurencyjne może dać liniowe równanie różniczkowe

jc: Przecież masz metodę uzmienniania stałych. Nie musisz przewidywać.

jc: W całce powinno być dt zamiast ds !

Mariusz: A tak dla rekurencyjnych też jest coś takiego jak uzmiennianie stałych Tutaj zamiast wyznacznika Wrońskiego mamy wyznacznik Casoratiego i zamiast całkować sumujemy