Algebra student: Jak wyznacz się homomorfizmy pierścieni Z_n → Z_m, gdzie m i n nie są względnie pierwsze? Wiem, że 1 musi przejść na 1, a 0 na 0. Co dalej z tym zrobić? Weźmy na przykład Z₄ → Z₂₀

jc: n a = a + a + ... + a 0 = f(0) = f(n a) = n f(a) m, n względnie pierwsze ⇒ kn = j m + 1 dla pewnych naturalnych j, k 0 = kn f(a) = f(a). Zatem obrazem każdego elementu jest 0. −−−− Przypadek 4, 20. 0 = f(4a) = 4 f(a), f(a) ∊ {0 , 5, 10, 15}, f(1) = 0 lub 5 lub 10 lub 15 f(1)*f(1) = f(1), 0*0=0, 5*5 = 5, 10*10 = 0, 15*15=5 Mamy więc 2 homomorfizmy (0,1,2,3) →(0,0,0,0) (0,1,2,3) →(0, 5, 10, 15) Sprawdź i pytaj, mogłem coś pomylić

jc: Nie zauważyłem słówka "nie". Lepiej było nie stawiać żadnego warunku. d = nwd(n,m) f(1) = k (m/d) f(a) = a * f(1) k nie może być dowolne, bo f(1)*f(1)= f(1). Dlatego powinna zachodzić równość k² (m/d)² = k (m/d). Przykład Z₁₀ →Z₁₅ d = 5, m/d = 3, k=0,1,2,4 9 k² = 3 k, k= 0, 2 f(a) = 0 lub f(a) = 6*a (2 homomorfizmy) Mamy n.p. f(2)*f(7) = 12*12 = 9, f(2*7) = f(4) = 9

jc: Dodam jeszcze jeden przykład. Mamy 4 homomorfizy Z₆ →Z₆, a →ka, k=0,1,3,4

student: Super wyjaśnione. Mam pytanie czy można jakiś namiar na Ciebie, mail czy coś? Mam sprawę

student: Czy 1 nie musi przejść na 1?

jc: To nie ciała.

student: W definicji homomorfizmu pierścieni jest, że jeśli w obu pierścieniach jest 1 to 1 musi przejść na 1

jc: No dobrze, jeśli nazwiesz nasze pierścienie, pierścieniami z jedynką, to (wg WIKI) 1 powinno przejść na 1. Ale wtedy wszystko sie trywializuje. Jeśli m|n, to f(a) = a (dokładniej, reszta z dzielenia a przez m). W przeciwnym wypadku nie ma żadnego homomorfizmu (tak było w omówinych przykładach).

student: Ok, dziękuję Masz może jakiegoś maila czy coś?