Granica funkcji Przemysław: Oblicz granicę funkcji: lim_x→∞ x((x²+1)^1/2−(x³+1)^1/3) Proszę o pomoc

jc: x [ (x²+1)^1/2 − (x³+1)^1/3 ] = x [ (x²+1)^1/2 −x] − x [ (x³+1)^1/3 − x] x [ (x²+1)^1/2 −x] →1/2 x [ (x³+1)^1/3 − x] →0

Przemysław: A dlaczego x[(x³+1)^1/3−x]→0 ? Próbowałem mnożyć licznik i mianownik przez sprzężenie ale nie powiodły się moje dalsze próby.

jc: Wskazówka

1
	= ...
51/3 + 31/3

Przemysław: (a+b)³=a³+b³+3a²b+3ab² (a+b)³−3a²b−3ab²=a³+b³

	1		(51/3+31/3)2
...=		*		=
	51/3+31/3		(51/3+31/3)2

	(51/3+31/3)2
=		=
	(51/3+31/3)3

	(51/3+31/3)2
=		=
	(51/3+31/3)3

	(51/3+31/3)2
=		=
	5+3+3*51/3+52/3*32/3

	52/3+32/3+2*(3*5)1/3
=
	8+3*51/3+(5*3)2/3

!?

jc: Nie wzór na potęgę sumy tylko wzór na różnicę potęg. (a−b)(a²+ab+b²) = a³ + b³ (a+b)(a²−ab+b²) = a³ − b³

Jack: @jc, chyba na odwrot a³− b³ = (a−b)(a²+ab+b²)

jc: Oczywiście, że na odwrót, dziękuję (a−b)(a²+ab+b²) = a³ − b² (a+b)(a²−ab+b²) = a³ + b²

Przemysław: OK, dziękuję

jc: A teraz policz dla odmiany granicę

	√x − 3√x
limx →1
	x−1

Przemysław:

	1
Z D'Hospitala wynik jest		, ale otrzymać go inaczej nie potrafię.
	6

jc:

Przemysław: A bez sławetnej reguły jak to policzyć? Bo to jest istotnie różny przypadek od tego oryginalnego i Twoje rozwiązanie z 1:02 raczej nie zadziała?

jc: Zadziała ...

Przemysław: Faktycznie

	√x−x		3√x−x		x−x2		x−x3
...=		−		=		−		=
	x−1		x−1		(x−1)(√x+x)		(x−1)(3√x2+x3√x+x2

	1		x(x+1)		1		1		1
=−		+		→−		+		=−
	1+1/√x		3√x2+x√x+x2		2		3		6

Tylko gdzieś znaki mi się zamieniły?

ZKS:

	x(x + 1)		2
Wartość wyrażenia		dla x = 1 wynosi		.
	3√x2 + x√x + x2		3

jc: Można było prościej odejmując i dodając 1.

√x − 3√x		√x−1		3√x−1		1		1
	=		−		=		−
x−1		x−1		x−1		√x+1		3√x2+3√x+1

→ 1/2 − 1/3 = 1/6

Przemysław: Dziękuję!