twierdzenie sinusow i cosinusow mila16: W trójkącie ABC, w którym |AB|=c, |BC|=a, |AC|=b, kąt BAC =2α. Wykaż, że sinα ≤ 1/(2 √bc)

g: a² = b²+c²−2bc cos2α

	b2+c2−a2
cos2α = 1−2sin2α =
	2bc

	2bc−b2−c2+a2		a2 − (b−c)2
2sin2α =		=
	2bc		2bc

	a2
sin2α ≤
	bc

Jack: a² = b² + c² − 2bc cos(2α) 2bc cos(2α) = b² + c² − a²

	b2 + c2 − a2
cos(2α) =
	2bc

cos(2α) = cos²α − sin²α = 1 − sin²α − sin²α = 1 − 2sin²α

	b2 + c2 − a2
1 − 2sin2α =
	2bc

	b2 + c2 − a2		2bc − b2 − c2 + a2
2 sin2α = 1 −		=
	2bc		2bc

	2bc − b2 − c2 + a2		a2 − (b2 − 2bc + c2)
sin2α =		=
	4bc		4bc

	a2 − (b2 − 2bc + c2)		a2 − (b−c)2
sin2α =		=
	4bc		4bc

Jack: @g jak przeszedles z przedostatniej linjki do ostatniej?

mila16: Dziękuję bardzo

g: Pomyliłem się. Prawą stronę zamiast podzielić, to pomnożyłem przez 2.

Jack: no tak, ale co sie stalo z −(b−c)²?

mila16: W sumie to w tum zadaniu jest błąd. Powinno być wykaż, że sinα ≤ a/2 √bc

Jack: g? Pomoglbys zrozumiec?

Jack: dobra, juz chyba czaje wiemy, ze

	a2 − (b−c)2		a2		(b−c)2
sin2 α =		=		−
	4bc		4bc		4bc

mamy wykazac, ze

	a
sin α ≤		/// ()2
	2√bc

	a2
sin2α ≤
	4bc

	a2		a2
skoro sin2α =		− coś, to znaczy, że na pewno jest mniejszy od
	4bc		4bc

wiec to nalezalo udowodnic. na pewno da sie to ladniej zapisac, jednak ja nie umiem ; /