Równanie wykładnicze Varost: Równanie wykładnicze: 7*3^3x+1−5^x+2=3^x+4−5^x+3 7*3¹*3^x−5^x*5²=3^x*3⁴−5^x*5³ 21*3^x−25*5^x=81*3^x−125*5^x 21*3^x−81*3^x=−125*5^x+25*5^x −60*3^x=−100*5^x //*(−1) 60*3^x=100*5^x //:10 6*3^x=10*5^x //:2 3*3^x=5*5^x 3^x+1=5^x+1 Czy do tego momentu jest dobrze? I co dalej?

Varost: Dałbym tu: x+1=0 x=−1 Ale czy to dobrze?

Jack: post 16:22 jest dobry. jak masz 3*3^x = 5 * 5^x // : 3

	5
3x =		* 5x //:5x (mozemy podzielic bo 5x nigdy nie da nam zera,wiec to jest na pewno
	3

≠ 0)

3x		5
	=
5x		3

	ax		a
z wlasnosci poteg		= (		)x
	bx		b

zatem

	3		5
(		)x =
	5		3

5		3
	= (		)−1
3		5

zatem

	3		3
(		)x = (		)−1
	5		5

stad x = − 1

Jack: post 16:23 mnie raczej nie przekonuje...

Varost: Kolejna, tym razem nierówność:

	1		1
2*(		)2x−3*(		)x+1≤0
	2		2

2*(2⁻¹)^2x−3*(2⁻¹)^x+1≤0 2*2^−2x−3*2^−x+1≤0 2*(2^−x)²−3*2^−x+1≤0 t=2^−x t>0 2t²−3t+1≤0 Δ9−4*2*1 Δ=9−8 Δ=1 √Δ=1

	3−1		2		1
x1=		=		=
	4		4		2

	3+1		4
x2=		=		=1
	4		4

	1
Rozwiązaniem jest zbiór x∊(0;		)∪(1;+∞) czy x∊(1;+∞) ?
	2

Jack: zatem tak rozpisywac mogles odrazu :

	1		1
2 * (		)2x − 3* (		)x + 1 ≤ 0
	2		2

	1		1
2 * ((		)x)2 − 3* (		)x + 1 ≤ 0
	2		2

	1
(		)x = t , t > 0
	2

2t² − 3t + 1 ≤ 0 Δ = 1 zadne x₁ i x₂ bo liczyc rownanie kwadratowe o zmiennej t zatem

	1
t1 =
	2

t₂ = 1 czyli zapisujesz postac iloczynowa :

	1
2(t−1)(t−		) ≤ 0
	2

zaznaczasz miejsca zerowe na osi, rysujesz parabole − wspolczynnik przy najwiekszej potedze jest dodatni − bo wynosi 2. zatem ramiona paraboli do gory i odczytujesz

	1
t ∊ <		; 1>
	2

	1
inaczej mowiac : t ≥		⋀ t ≤ 1
	2

wracamy z podstawieniem

	1
(		)x = t
	2

czyli

	1		1		1
(		)x ≥(		)1 ⋀ (		)x ≤ 1
	2		2		2

stad

	1		1
x ≤ 1 ⋀ (		)x ≤ (		)0
	2		2

zatem x ≤ 1 i x ≥ 0 stad x ∊ <0;1>

Varost: 7^x+1+2*7^x−2−345>0

	1
7*7x+2*7x*		−345>0
	49

	2
7x(7+		) − 345 > 0 ...
	49

Jack: kontynuuj

Varost:

	343		2
7x*(		+		)−345>0
	49		49

	345
7x*(		)−345>0...
	49

Jack: 7^x zostaw po lewej, reszta na prawo

Jack:

	345
7x *		> 345
	49

	49
7x > 345 *
	345

7^x > 49 dalej juz prosto

Varost:

	345
tak po prostu? 7x >		− 345
	49

Varost: Aaa no to teraz już oczywiste

Varost: Dzięki za pomoc z tym wszystkim

Jack: