Twierdzenie o trzech ciągach - Oblicz granicę ciągu Stark: Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym a_n, jeśli: 1) a_n = √6ⁿ + 7ⁿ + 8ⁿ

	cos(n5)
2) an =
	n+1

Zadanie trzeba zrobić na podstawie twierdzenia o trzech ciągach. Nie wiem jednak o co w nim chodzi, jak rozpisywać równania ani skąd wiedzieć jak wyznaczyć ciągi 'z lewej' i 'z prawej' strony. Bardzo proszę o wyjaśnienie tego twierdzenia na podstawie tych przykładów

Jack: 1) pierwiastek zwykly czy pierwiastek n−tego stopnia?

Stark: aaaj tak, n−tego stopnia, przepraszam

Janek191: 1) Tw. o trzech ciągach 2) lim a_n = 0 n→∞ bo − 1≤ cos (n⁵) ≤ 1

Jack: najpierw ograniczenie z gory. 8 jest wiekszy od 6 i 7 zatem ⁿ√6ⁿ + 7ⁿ + 8ⁿ ≤ ⁿ√8ⁿ + 8ⁿ + 8ⁿ a teraz ograniczenie z dolu − nadal najwieksza jest osemka, ale zapisujemy ja jeden raz. zatem ⁿ√8ⁿ ≤ ⁿ√6ⁿ + 7ⁿ + 8ⁿ ≤ ⁿ√8ⁿ + 8ⁿ + 8ⁿ oczywiscie wiadomo ze jest spenione bo chyba widac Teraz pokazujemy ze granica z gory i z dolu sa takie same. lim ⁿ√8ⁿ = 8 n−>∞ lim ⁿ√8ⁿ + 8ⁿ + 8ⁿ = lim ⁿ√3*8ⁿ = lim ⁿ√3 * ⁿ√8ⁿ = 8* n−>∞ * lim (ⁿ√3dazy do jeden, a ⁿ√8ⁿ do osmiu.) = 8, zatem tamta granica wynosi 8 Odp. Na mocy twierdzenia o trzech ciągach lim ⁿ√6ⁿ + 7ⁿ+8ⁿ = 5 n−>∞

Jack: = 8 **** co ja tam napisalem w ostatniej linijce

Janek191: 8

Stark: Aa, chyba rozumiem.. czyli w obu ograniczeniach musi być zawsze ta sama liczba tylko w ograniczeniu z góry będzie ona pomnożona przez coś żeby była większa, tak? I ta największa liczba będzie zawsze granicą, tylko trzeba to wykazać?

Jack: bierzesz najwieksza pod pierwiastkiem i tyle. w ograniczeniu z gory po prostu zastepujesz pozostale ta najwieksza

Jack: oczywiscie w ograniczeniu z dolu tylko raz zapisujemy ta najwieksza i tyle.

Jack: np. https://www.youtube.com/watch?v=vsGg9uT6w04

Jack: jedyne co musisz umiec "trudniejszego" to policzyc prosta granice i wiedziec, ze ⁿ√z jakiejs liczby = 1 np. lim ⁿ√10 = 1, lim ⁿ√999 = 1 n−>∞ n−>∞

Jack: aczkolwiek @Janek191 jak zrobiles to drugie?

Stark: Okey, bardzo dziękuję

Benny: Jest też twierdzenie, które mówi, że iloczyn granicy zbieżnej do 0 i ograniczonej również zbiega do 0.

Janek191:

	cos ( n5)
2) an =
	n + 1

− 1 ≤ cos ( n⁵) ≤ 1 / : ( n +1)

−1		1
	≤ an ≤
n +1		n+1

	−1		1
lim		= 0 i lim		= 0
	n+1		n +1

n→∞ n→∞ więc na podstawie tw. o trzech ciągach lim a_n = 0 n→∞

Jack: Aaa no tak