Całka z pierwiastkiem z funkcji wymiernej Michal: Witam, Liczyłem całki z wielopodpunktowego zadania i trafiłem na coś takiego. Czy ktoś mógłby mi podpowiedzieć, jak się za to zabrać? ∫√^1−x_1+x Jeżeli ten zapis jest mało czytelny to jest to całka z pierwiastka pod którym jest 1−x podzielić przez 1+x. Z góry dziękuje

jc: podstaw: x = (1−t²)/(1+t²)

Jerzy:

	1−x		1−x		x−1
Podstawienie: t = p{		, t2 =		, −t2 =		,
	1+x		1+x		x+1

	2		2		−4tdt
−t2 − 1 = −		,		= x + 1 ⇒		= dx
	x+1		t2+1		(t2+1)2

	t
i masz : − 4∫		dt
	(t2+1)2

Jerzy:

	1−x
Podstawienie: t = √
	1+x

Jerzy: Podstawienie jc prowadzi do tej samej całki

jc:

	t2		1		2t
... = −4∫		dt = 2 ∫ t (		)' dt =		− 2 atan t
	(1+t2)2		1+t2		1+t2

czy jakoś tak ...

Michal: Dziękuje za pomoc, rzeczywiście prowadzi do rozwiązania, ale dziwi mnie dysproporcja trudności pomiędzy tym przykładem, a innymi z zadania.

jc: Właściwie można było prościej ... cały rachunek poniżej x = (1−t²)/(1+t²), (1−x)/(1+x) = t²

	1−x		1−t2		1−t2		1−t2
∫(		)1/2 dx = ∫ t (		)' dt = t		− ∫		dt
	1+x		1+t2		1+t2		1+t2

	1−t2		2 − (1+t2)		1−t2
= t		− ∫		dt = t		− 2 (atan t) + t
	1+t2		1+t2		1+t2

W ten sposób unikamy licznia pochodnej dx/dt !

jc: Bo to prosta całka:

	1−x		1−x
∫ √		dx = ∫		dx = asin x + √1−x2
	1+x		√1−x2

Leszek: Zawsze nalezy spawdzic wynik obliczajac pochodna funkcji pierwotnej Tu sie zgadza

jc: Tak, tu akurat jest prosto. Pierwszy składnik z listy podstawowej, drugi niewiele trudniejszy. W pełni się zgadzam z tym sprawdzaniem