Rozwiąż wielomian NG: 12x³−12x²+2=0 Z Hornera nie wychodzi

Jack: poziom liceum czy studia?

NG: Studia

Jack: 12x³ − 12x² + 2 = 0 // : 2 6x³ − 6x² + 1 = 0 no i teraz Cardano (jako ze zbyt "ladnych" pierwiastkow nie ma) robimy podstawienie

	b
y = x −
	3a

u nas b = − 6, a = 6 zatem

	−6		1
y = x −		= x +
	18		3

	1		1
6(x+		)3 − 6(x+		)2 + 1 = 0
	3		3

... ciag dalszy nastapi.

Jack: co ja tam podstawilem.

	b		1
mialo byc x = y −		= y +
	3a		3

i w nawiasach jest

	1		1
6(y+		)3 − 6(y+		)2 + 1 = 0
	3		3

Jack: po wymnozeniu i skroceniu

	5
3y3 − y +		= 0 // :3
	18

	1		5
y3 −		y +		= 0
	3		54

teraz mozna zrobic podstawienie y = u + v albo metoda Harriota (tak czy owak dojdziemy do tego samego rownania) tw.Harriota mowi o podstawieniu

	p
y = z −		(gdzie rownanie to y3 + py + q)
	3z

	1		5
nasze rownanie to : y3 −		y +		= 0
	3		54

	1		5
zatem p = −		, q =
	3		54

a potem podstawienie t = z³ ostatecznie mamy :

	5		1   (− )3   3
t2 +		t −		= 0
	54		27

	5		1
t2 +		t +		= 0 / * 27 * 27
	54		27*27

	135
729 t2 +		t + 1 = 0
	2

1458t² + 135t + 2 = 0 Δ = 18225 − 11664 = 6561 √Δ = 81

	−135 − 81		−216		2
t =		=		= −
	2916		2916		27

	−135 + 81		−54		1
t =		=		= −
	2916		2916		54

wracajac do podstawienia.

	2
z3 = −
	27

lub

	1
z3 = −
	54

zatem z = ³√−²₂₇ z = ³√−¹₅₄ wracajac jeszcze dalej

	p		1   −   3		1
y = z −		= z −		= z +
	3z		3z		9z

czyli

	1
y = 3√−227 +
	9*3√−227

lub

	1
y = 3√−154 +
	93√−154

i wracajac do glownego podstawienia.

	1
skoro x = y +
	3

to

	1		1
x = 3√−227 +		+
	9*3√−227		3

lub

	1		1
x = 3√−154 +		+
	93√−154		3

Jack: teraz pytanie czy zgubilem jakies rozwiazanie czy to jeszcze nie koniec... bo wolfram podaje co innego. https://www.wolframalpha.com/input/?i=6x^3%E2%88%926x^2%2B1%3D0 niech lepiej ktos to sprawdzi...

jc: Przepisałem i, o ile się nie pomyliłem, mamy

	1		1
x =		(1 − 3√2 −		)
	3		3√2

NG: Dzięki za pomoc , już rozumiem. Jednak mam nadzieje że na kolokwium takiego nie dadzą.

Mariusz: NG lepiej podstawić y=u+v bo masz pewność że nie wystąpi dzielenie przez zero

jc: Mariusz, nie martw się o zero, i tak coś się pomyliło.