Funkcja uwikłana Benny: Wykazać, że równanie z³−xyz+y²=16 wyznacza dokładnie jedna funkcja uwikłana postaci z=f(x, y) w otoczeniu punktu (1, 4, 2). Wskazówki?

jc: Twierdzenie o funkcji uwikłanej.

Benny: F(x, f(x, y))=0 i F(P)=B

jc: (z³ − xyz + y²)_z = 3z² − yx = 3*2² − 1*4 = 8 ≠ 0

Benny: To powinno zachodzi, ale czy nie powinno również zachodzić z₀³−z₀y₀x₀+y₀²−16=0?

jc: To zamień 16 na 1 − 8 + 16 = 9 i będzie dobrze.

Benny: Ok może dałoby się zebrać wszystko do kupy, bo się chyba zgubiłem Trzeba sprawdzić czy F(x, y, z)=0 2³−1*4*2+4²−16=0 działa Pochodna po z =3z²−xy Wartość dla tego punktu to 8 i jest różne od 0, czyli oba warunki są spełnione. Czy to wystarcza?

jc: Oj, ja żle podstawiłem Ale sam zrobiłeś to poprawnie.

jc: Czy to wystarcza? Tak mi się wydaje. Oznacza to, że płaszczyzna styczna nie jest pionowa a więc w pobliżu rozpatrywanego punktu powierzchnia jest wykresem jakieś funkcji.

Benny: Znaczy się funkcja "nie zawraca"

jc:

jc: Przykład x=y³ . Wspomniany warunek nie jest konieczny. Pochodna w zerze = 0, ale funkcja odwrotna istnieje na całym R, y = x^1/3.