Tryngonometria Frixie:

	4
Wiedząc że α i β są miarami kątów ostrych trójkąta prostokątnego oraz sin α + cos α=		,
	3

	cosβ
oblicz wartość wyrażenia tg−1a +
	cosα

Proszę o pełne rozwiązanie gdyż z tego tematu kompletnie leże a czas nagli. Z góry dziękuje!

Jack: Jak czas nagli, a Ty kompletnie w tym temacie lezysz, to masz baaardzo duzo roboty. co to znaczy tg⁻1a ? czy chodzi o tg⁻¹α ?

Frixie: Tak

Janek191:

	4
sin α + cos α =		; podnosimy obustronnie do kwadratu
	3

	16
sin2 α + 2 sin α*cos α + cos2α =
	9

	16		7
sin 2α =		− 1 =
	9		9

	49		32		16*2
(cos 2α)2 = 1 − (sin 2α)2 = 1 −		=		=
	81		81		81

	4 √2
cos 2α =
	9

	4 √2
1 − 2 sin2 α =
	9

	4√2		9 − 4√2
2 sin2α = 1 −		=
	9		9

	9 − 4√2		( 2√2 − 1)2
sin2α =		=
	2*9		2*9

więc

	2 √2 − 1		4 − √2
sin α =		=
	3√2		6

więc

	4 − √2		18 − 8√2		18 +8√2		(4 +√2)2
cos2α = 1− (		)2 = 1 −		=		=
	6		36		36		36

	4 + √2
cos α =
	6

	4 − √2
cos β = sin α =
	6

zatem

	sin α		4 −√2		6		4 − √2
tg α =		=		*		=
	cos α		6		4 + √2		4 + √2

oraz

1		4 + √2
	=
tg α		4 − √2

dlatego

1		cos β		4 + √2		4 − √2		6
	+		=		+		*		=
tg α		cos α		4 − √2		6		4 + √2

	4 + √2		4 − √2		( 4 +√2)2 +(4 −√2)2
=		+		=		=
	4 − √2		4 + √2		16 − 2

	36		18
=		=
	14		7

Jack: α,β sa katami ostrymi. tego typu zadania mozesz rozwiazac np. w ten sposob pierwsze rownanie to jedynka trygonometryczna, ktora mam nadzieje ze znasz sin²α + cos²α = 1 oraz drugie rownanie z polecenia.

	4
sinα + cosα =
	3

zatem mamy uklad rownan {sin²α + cos²α = 1

	4
{sinα + cosα =
	3

	4
z drugiego rownania −>> sinα =		− cosα
	3

podstawiamy do pierwszego.

	4
(		− cosα)2 + cos2α = 1
	3

dalej dasz rade wyznaczyc cos α... pamietaj ze skoro α to kat ostry, to zarowno sinus jak i cosinus sa dodatnie, wiec jak wyjdzie ujemny to go odrzucasz.

Jack: @Janek191 jesli ktos w tym temacie kompletnie lezy, to watpie zeby wiedzial, ze (cos2α)² = 1 − (sin2α)²

Janek191: Może niepotrzebnie tak dużo pisałem

Jack: takie pilne i cisza...