proszę o rozwiązanie
PJ: Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n, n7−n jest podzielne przez 42.
31 maj 14:25
Jack:
n7 − n = n(n6 − 1) = n[(n3)2 − 12] = n[(n3−1)(n3+1)]
wiemy, ze
(n3−1) = (n−1)(n2+1+n)
(n3+1) = (n+1)(n2+1−n)
zatem
n[(n3−1)(n3+1)] = n(n−1)(n+1)(n2+1+n)(n2+1−n)
hmm
(n−1)n(n+1) to 3 kolejne liczby naturalne, wsrod ktorych jest jedna parzysta i jedna podzielna
przez 3
zatem ich iloczyn jest podzielny przez 6.
tylko nie przychodzi mi do glowy jak wykazac ze
(n2+1+n)(n2+1−n) jest podzielne przez 7.
inaczej mowiac (n2+1+n)(n2+1−n) = n4 + n2 + 1
wiemy ze 7 jest liczba pierwsza.
hmmm
31 maj 14:56
Jerzy:
Wykorzystaj:
n2 + n + 1 = (n+3)(n−2) + 7
n2 − n + 1 = (n−3)(n+2) +7
31 maj 15:01
PJ: czyli to jest całe rozwiązanie tego zadanka ?
31 maj 15:01
Jack:
no i teraz wszystko jasne...
(n−3)(n−2)(n−1)n(n+1)(n−2)(n+2)(n+3) + 2*7
no i teraz komentarz...
31 maj 15:03
PJ: takie zadanko umiał byś zrobić ?
− Dana jest rekurencyjna definicja ciągu. Znajdź wzór ogólny na n−ty wyraz ciągu a(0)= 2,
a(1)=4, a(n)= 2a(n−1)+ 3a(n−2) dla n>0.
31 maj 15:03
PJ: jaki komentarz ? sorki że tak się dopytuję ale muszę oddać dzisiaj te zadanka a nie mam pojęcia
jak je zrobić
31 maj 15:04
jc:
[(n+1)7 − (n+1) ] − [n7 − n] = (n+1)7 − n7 − 1 = 7 n (n+1) (n2+n+1)2
(n2+n+1) = (n−1)(n+2) + 3
3 | (n−1)n(n+1), 2 | n(n+1)
Zatem 2,3,7 dzielą 7 n (n+1) (n2+n+1)2,
skąd wynika, że 42 | 7 n (n+1) (n2+n+1)2
Wniosek, jeśli twierdzenie jest prawdziwe dla n, to jest prawdziwe dla n+1,
a ponieważ jest prawdziwe dla n=1, więc jest prawdziwe dla każdego n.
31 maj 15:06
Jack: przy jakimkolwiek wykazywaniu i udowadnianiu zawsze konieczny jest komentarz.
Co ci to da ze sobie cos tam rozpisales?
(ps, ja zle rozpisalem w poscie 15;03)
31 maj 15:06
PJ: bardzo Wam dziękuję
31 maj 15:07
PJ: a trzecie zadanko mam takie :
− Roztargniony Mikołaj przygotował 100 różnych paczek, w rozwożeniu których pomagają mu 3
identyczne renifery zaprzężone w sanie. Na ile sposobów Mikołaj może rozłożyć paczki do sań
jeśli
nie wszystkie sanie muszą wyruszyć w podróż z Mikołajem?
31 maj 15:08
jc:
an = (3/2) 3n + (1/2) (−1)n
Dowód indukcyjny.
31 maj 15:11
Jack: watpie zeby kolega rozumial indukcje...
31 maj 15:13
jc: Jack, dowód ma przekonać czytelnika do prawdziwości twierdzenia.
To raczej opowieść, a nie zbiór rachunków opratrzony komentarzami.
Oczywiście podzielnośc 7 | n7 − n, to małe tw. Fermata dla p = 7.
Dowodów (zwykle łatwych) jest mnóstwo.
31 maj 15:16
jc: Rozpędziłem się, indukcja nie jest potrzebna (chodzi o an).
Wystarczy, że sprawdzić, że to rozwiązanie zadania.
Pozostaje zastanowić się, dlaczego innych rozwiązań nie ma.
Ale to oczywiste, widać, że każdy wyraz jest jednoznacznie określony.
31 maj 15:19
Jerzy:
Mikołaj...
Ja bym obstawił 100 − elementowe wariacje z powtórzeniami zbioru 3 − elementowego: 3100
31 maj 15:40
jc: Przy każdym prezencie, Mikołaj wybiera jedne z 3 sań.
31 maj 15:49
Jerzy:
I gra gitara ..
pierwasza paczka do jednych a trzech sań, druga do jednych z trzech...
3*3*3*....*3 ( 100 razy), albo:
1 2 3 4 5 6 7 ........ 100 ( nr paczki)
A A B C A C .. ( A,B,C − sanie)
pokrywamy wszystkie mozliwe układy ( np 100 paczek w jednych saniach )
..no chyba,że jest haczyk z reniferami i saniami
31 maj 15:54
PJ:
31 maj 15:55
Jerzy:
pewnie tak .... 3 renifery + 3 sanie , lub 3 renifery + 2 sanie , lub 3 renifery 1 sanie
31 maj 15:56
Iryt:
Ad Roztargniony Mikołaj
Wszystkie paczki w jednych saniach
lub wszystkie paczki w dwóch saniach (podział dwa niepuste podzbiory)
lub wszystkie paczki w 3 saniach (podział na 3 niepuste podzbiory)
| 2100−2 | | liczba suriekcji zbioru {x1,x2,...x100}→{s1,s2,s3} | |
1+ |
| + |
| |
| 2 | | 3! | |
Liczba suriekcji wg wzoru ( albo za pomocą wariacji)
| | |
∑(dla j=0 do 3)[(−1)j* | *(3−j)100= |
| |
| | | | | | |
(−1)0* | *(3−0)100+(−1)1* | *(3−1)100+(−1)2+ | *(3−2)100+0= |
| | | |
=3
100−3*2
100+3
=============
Liczba rozmieszczeń:
| 3100−3*2100+3 | |
1+299−1+ |
| = |
| 6 | |
Masz do tego odpowiedź?
31 maj 16:18
jc: Myślę, że jednak rozróżniamy sanie ...
31 maj 16:22
PJ: nie mam odpowiedzi niestety
31 maj 16:23
Mila:
Obiekty rozróżnialne a kategorie nierozróżnialne.
Liczby Stirlinga miałeś?
31 maj 16:26
PJ: nie
31 maj 16:28
PJ: a ajkiś pomysł na te zadanko :
Dana jest rekurencyjna definicja ciągu. Znajdź wzór ogólny na n−ty wyraz ciągu a(0)= 2,
a(1)=4, a(n)= 2a(n−1)+ 3a(n−2) dla n>0
31 maj 16:30
jc: Gdybyśmy nie rozróżniali, byłoby to raczej zaznaczone w treści zadania.
Dlatego sugeruję jednak 3100.
Przy okazji: Mamy koraliki w n kolorach. Ile mozemy ułożyć różnych naszyjników z 7
koralików ?
(załóżmy, ze utożsamiamy obrócone naszyjniki, ale nie wolno nam
odwracać na drugą stronę)
31 maj 16:32
jc: PJ, a(n) = (3/2) 3n + (1/2) (−1)n. Wystarczy sprawdzić!
31 maj 16:34
PJ: bardzo dziękuję
31 maj 17:09
Mariusz: a(0)= 2, a(1)=4, a(n)= 2a(n−1)+ 3a(n−2)
A(x)=∑
n=0∞a
nx
n
∑
n=2∞a
nx
n=∑
n=2∞2a
n−1x
n+∑
n=2∞3a
n−2x
n
∑
n=2∞a
nx
n=2x∑
n=1∞a
nx
n+3x
2∑
n=0∞a
nx
n
∑
n=0∞a
nx
n−2−4x=2x(∑
n=0∞a
nx
n−2)+3x
2∑
n=0∞a
nx
n
A(x)−2−4x=2xA(x)−4x+3x
2A(x)
A(x)(1−2x−3x
2)=2
(1−3x)(1+x)=1+x−3x−3x
2
| 1 | (1−3x)+3(1+x) | |
A(x)= |
|
| |
| 2 | (1−3x)(1+x) | |
31 maj 20:50