matematykaszkolna.pl
proszę o rozwiązanie PJ: Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n, n7−n jest podzielne przez 42.
31 maj 14:25
Jack: n7 − n = n(n6 − 1) = n[(n3)2 − 12] = n[(n3−1)(n3+1)] wiemy, ze (n3−1) = (n−1)(n2+1+n) (n3+1) = (n+1)(n2+1−n) zatem n[(n3−1)(n3+1)] = n(n−1)(n+1)(n2+1+n)(n2+1−n) hmm (n−1)n(n+1) to 3 kolejne liczby naturalne, wsrod ktorych jest jedna parzysta i jedna podzielna przez 3 zatem ich iloczyn jest podzielny przez 6. tylko nie przychodzi mi do glowy jak wykazac ze (n2+1+n)(n2+1−n) jest podzielne przez 7. inaczej mowiac (n2+1+n)(n2+1−n) = n4 + n2 + 1 wiemy ze 7 jest liczba pierwsza. hmmm
31 maj 14:56
Jerzy: Wykorzystaj: n2 + n + 1 = (n+3)(n−2) + 7 n2 − n + 1 = (n−3)(n+2) +7
31 maj 15:01
PJ: czyli to jest całe rozwiązanie tego zadanka ?
31 maj 15:01
Jack: no i teraz wszystko jasne... (n−3)(n−2)(n−1)n(n+1)(n−2)(n+2)(n+3) + 2*7 no i teraz komentarz...
31 maj 15:03
PJ: takie zadanko umiał byś zrobić ? − Dana jest rekurencyjna definicja ciągu. Znajdź wzór ogólny na n−ty wyraz ciągu a(0)= 2, a(1)=4, a(n)= 2a(n−1)+ 3a(n−2) dla n>0.
31 maj 15:03
PJ: jaki komentarz ? sorki że tak się dopytuję ale muszę oddać dzisiaj te zadanka a nie mam pojęcia jak je zrobićemotka
31 maj 15:04
jc: [(n+1)7 − (n+1) ] − [n7 − n] = (n+1)7 − n7 − 1 = 7 n (n+1) (n2+n+1)2 (n2+n+1) = (n−1)(n+2) + 3 3 | (n−1)n(n+1), 2 | n(n+1) Zatem 2,3,7 dzielą 7 n (n+1) (n2+n+1)2, skąd wynika, że 42 | 7 n (n+1) (n2+n+1)2 Wniosek, jeśli twierdzenie jest prawdziwe dla n, to jest prawdziwe dla n+1, a ponieważ jest prawdziwe dla n=1, więc jest prawdziwe dla każdego n.
31 maj 15:06
Jack: przy jakimkolwiek wykazywaniu i udowadnianiu zawsze konieczny jest komentarz. Co ci to da ze sobie cos tam rozpisales? (ps, ja zle rozpisalem w poscie 15;03)
31 maj 15:06
PJ: bardzo Wam dziękuję emotka
31 maj 15:07
PJ: a trzecie zadanko mam takie : − Roztargniony Mikołaj przygotował 100 różnych paczek, w rozwożeniu których pomagają mu 3 identyczne renifery zaprzężone w sanie. Na ile sposobów Mikołaj może rozłożyć paczki do sań jeśli nie wszystkie sanie muszą wyruszyć w podróż z Mikołajem?
31 maj 15:08
jc: an = (3/2) 3n + (1/2) (−1)n Dowód indukcyjny.
31 maj 15:11
Jack: watpie zeby kolega rozumial indukcje...
31 maj 15:13
jc: Jack, dowód ma przekonać czytelnika do prawdziwości twierdzenia. To raczej opowieść, a nie zbiór rachunków opratrzony komentarzami. Oczywiście podzielnośc 7 | n7 − n, to małe tw. Fermata dla p = 7. Dowodów (zwykle łatwych) jest mnóstwo.
31 maj 15:16
jc: Rozpędziłem się, indukcja nie jest potrzebna (chodzi o an). Wystarczy, że sprawdzić, że to rozwiązanie zadania. Pozostaje zastanowić się, dlaczego innych rozwiązań nie ma. Ale to oczywiste, widać, że każdy wyraz jest jednoznacznie określony.
31 maj 15:19
Jerzy: Mikołaj... Ja bym obstawił 100 − elementowe wariacje z powtórzeniami zbioru 3 − elementowego: 3100
31 maj 15:40
jc: Przy każdym prezencie, Mikołaj wybiera jedne z 3 sań.
31 maj 15:49
Jerzy: I gra gitara .. pierwasza paczka do jednych a trzech sań, druga do jednych z trzech... 3*3*3*....*3 ( 100 razy), albo: 1 2 3 4 5 6 7 ........ 100 ( nr paczki) A A B C A C .. ( A,B,C − sanie) pokrywamy wszystkie mozliwe układy ( np 100 paczek w jednych saniach ) ..no chyba,że jest haczyk z reniferami i saniami emotka
31 maj 15:54
PJ: emotka
31 maj 15:55
Jerzy: pewnie tak .... 3 renifery + 3 sanie , lub 3 renifery + 2 sanie , lub 3 renifery 1 sanie
31 maj 15:56
Iryt: Ad Roztargniony Mikołaj Wszystkie paczki w jednych saniach lub wszystkie paczki w dwóch saniach (podział dwa niepuste podzbiory) lub wszystkie paczki w 3 saniach (podział na 3 niepuste podzbiory)
 2100−2 liczba suriekcji zbioru {x1,x2,...x100}→{s1,s2,s3} 
1+

+

 2 3! 
Liczba suriekcji wg wzoru ( albo za pomocą wariacji)
 
nawias
3
nawias
nawias
j
nawias
 
∑(dla j=0 do 3)[(−1)j*
*(3−j)100=
  
 
nawias
3
nawias
nawias
0
nawias
 
nawias
3
nawias
nawias
1
nawias
 
nawias
3
nawias
nawias
2
nawias
 
(−1)0*
*(3−0)100+(−1)1*
*(3−1)100+(−1)2+
*(3−2)100+0=
    
=3100−3*2100+3 ============= Liczba rozmieszczeń:
 3100−3*2100+3 
1+299−1+

=
 6 
 399−2100+1 
=299+

=
 2 
 399+1 
=299+

−299=
 2 
 399+1 
=

 2 
Masz do tego odpowiedź?
31 maj 16:18
jc: Myślę, że jednak rozróżniamy sanie ...
31 maj 16:22
PJ: nie mam odpowiedzi niestety
31 maj 16:23
Mila: Obiekty rozróżnialne a kategorie nierozróżnialne. Liczby Stirlinga miałeś?
31 maj 16:26
PJ: nieemotka
31 maj 16:28
PJ: a ajkiś pomysł na te zadanko : Dana jest rekurencyjna definicja ciągu. Znajdź wzór ogólny na n−ty wyraz ciągu a(0)= 2, a(1)=4, a(n)= 2a(n−1)+ 3a(n−2) dla n>0
31 maj 16:30
jc: Gdybyśmy nie rozróżniali, byłoby to raczej zaznaczone w treści zadania. Dlatego sugeruję jednak 3100. Przy okazji: Mamy koraliki w n kolorach. Ile mozemy ułożyć różnych naszyjników z 7 koralików ? (załóżmy, ze utożsamiamy obrócone naszyjniki, ale nie wolno nam odwracać na drugą stronę)
31 maj 16:32
jc: PJ, a(n) = (3/2) 3n + (1/2) (−1)n. Wystarczy sprawdzić!
31 maj 16:34
PJ: bardzo dziękuję emotka
31 maj 17:09
Mariusz: a(0)= 2, a(1)=4, a(n)= 2a(n−1)+ 3a(n−2) A(x)=∑n=0anxnn=2anxn=∑n=22an−1xn+∑n=23an−2xnn=2anxn=2x∑n=1anxn+3x2n=0anxnn=0anxn−2−4x=2x(∑n=0anxn−2)+3x2n=0anxn A(x)−2−4x=2xA(x)−4x+3x2A(x) A(x)(1−2x−3x2)=2
 2 
A(x)=

 (1−2x−3x2) 
(1−3x)(1+x)=1+x−3x−3x2
 2 
A(x)=

 (1+x)(1−3x) 
 1(1−3x)+3(1+x) 
A(x)=


 2(1−3x)(1+x) 
 3 1 
an=

3n+

(−1)n
 2 2 
31 maj 20:50