Ciągi ogolnie 6latek : Zadanie : Sklada się ono z kilku podpunktów a_n jest określone dla n≥2 1) wypisz kilka początkowych wyrazoe ciągu o wyrazie ogolnym

	1		1		1		1		1
an=		+		+		+....+		+
	n+1		n+2		n+3		2n−1		2n

2) Udowodnij ze ciag a_n jest rosnący 3) Który z e skladnikow a_n jest najmniejszy a który największy

	1
4) Zastepujac każdy ze skladnikow an najmniejszym z nich wykaz ze ∧n∊N an>
	2

5) Zastepujac każdy z eskladnikow a_n największym z nich wykaz ze ∧n∊N a_n<1 6) Na plaszczyznie wspolrzednych zaznacz kilka punktów ykresu ciągu a_n . Zaznacz pas w którym miesci się caly wykres

jc: Pochwal się, jak rozwiążesz Punkt (2), jako trudniejszy, dałbym na koniec.

6latek : zebym to ja wiedział jak to rozwiazac

jc: Nie pisz, że punkt (1) jest trudny. Napisz a₁, a₂, a₃, tylko nie dodawaj składników. Może nawet lepiej jak zaczniesz od a₂, potem a₃ i a₁.

g:

	1		1		1
2) an+1 = an +		+		−
	2n+1		2n+2		n+1

	(2n+2)(n+1) + (2n+1)(n+1) − (2n+1)(2n+2)
an+1−an =		=
	(2n+1)(2n+2)(n+1)

	n+1
=		> 0
	(2n+1)(2n+2)(n+1)

	1		1
3)		jest największy,		najmniejszy.
	n+1		2n

	1		1		1
4) n*		=		, więc an >
	2n		2		2

	1
5} n*		< 1
	n+1

www: o boze z jakiej to starej ksiązki .............

6latek : z 1978r

6latek : jc Jutro się wezme .

6latek : czyli

	1		1
a2=		=
	2+1		3

	1		1
a3=		=
	3+1		4

	1		1
a4=		=
	4+1		5

6latek : Ojj zle napisałem .

6latek : Myli mnie to dla n≥2 czy to zacząć liczyc od wyrazu drugiego czyli

	1		1		1
a2=		=		=
	n+1		2+1		3

	1		1		1
a3=		=		=
	n+2		3+2		5

	1		1
a4=		=
	n+3		7

	1		1		1
Czy a2 to będzie		=		=
	n+2		2+2		4

	1		1
a3=		=		?
	n+3		6

jc: Popatrz na wzór określający a_n. Co wzór każe zrobić? Napisz a₁, a₂, a₃, a₄. A potem dopiero przejdź do punktu (3), (4), (5), (2).

6latek :

	1
a2=
	4

	1
a3=
	6

	1
a4=
	8

	1
a5=
	10

	1
to a1=
	2

jc: Źle. Odczytaj wzór. Po lewej stronie jest a_n, a po prawej pewna suma. Ile składników ma suma? Napisz odpowiednie sumy dla n=1,2,3,4.

Jack: przypomina troche szereg harmoniczny ;x

6latek :

	1
Spojrzalem na ostatni składnik
	2n

Teraz

	1
największy skadnik
	n+1

	1
najmniejszsy składnik to
	n

bo im bardziej będziemy zwiekszac n to mianownik tutaj będzie wiekszsy a co za tym idzie

	1
		będzie malał
	n

To już mam wyjaśnione teraz jeśli zastąpimy każdy ze skaldnikow najmniejszym z nich to dostaniemy

	1		n		1
an=		*n =		=		(*n bo mamy n wyrazow w ciągu )
	2n		2n		2

	1		1		1		1		1
teraz będzie		+		+		+.... +		>
	2		2		2		2		2

Teraz zastępujemy największym z nich

	1		n		n
an=		*n=		a		jest <1
	n+1		n+1		n+1

Teraz wykres Będzie to ten pas na czewrowno Tutaj mi wyszlo nie bardzo (na papierze milimetrowym to wyjdzie lepiej ) Ja zanaczylem pas y=0 y=0,5 Teraz został czy ciag jest rosnący ? Tutaj proszse Cie o pomoc w policzeniu

6latek : To w takim razie rozpisz te wyrazy bo ja sie pogubiłem

6latek : Prosze Cie abys dopisal jakiś komentarz do tego jeśli trzeba

jc: Zadanie masz rozwiązane w jednym z pierwszych wpisów. a₁ = 1/2 a₂ = 1/3 + 1/4 a₃ = 1/4 + 1/5 + 1/6 a₄ = ...

6latek :

	1		1
To a1 potrafie zrozumieć bo		= za n=1 i mam
	n+1		2

ale dalej dlaczego tak ? wytłumacz to

Jerzy: Cześć każdy n − ty wyraz jest sumą n ułamków

6latek : Powoli

	1
a1=
	2

	1		1		1		1		1		1
a2=		+		=		+		=		+
	n+1		n+2		2		2+2		2		4

	1		1		1
a3=		+		+		itd. ?
	n+1		n+2		n+3

czy inaczej ?

6latek : Dobra już wiem

	1
a1=
	2

	1		1		1		1		1		1		7
a2=		+		=		+		=		+		=
	n+1		n+2		2+1		2+2		3		4		12

	1		1		1		1		1		1		1
a3= U{n+1}+		+		=		+		+		= U{1}[4}+		+
	n+2		n+3		3+1		3+2		3+3		5		6

	1		1		1		1
a4=		+		+		+		itd.
	5		6		7		8

Wypisuje sobie ilość skladnikow wyrazow i w mianowniku za n wstawiam numer wyrazu To już mam

6latek : Teraz zostaje problem ciągu rosnącego Jak policzyć

jc: Trochę bez sensu a₂ = 1/(n+1) + 1/(n+2). Po prwej stronie nie powinno już być n. Rozwiązując dalsze punkty, patrz na kartkę ze wzorami na a₁, a₂, a₃, a₄. W piątym wpisie masz pełne rozwiązanie.

6latek : jc Skoncze to po powrocie z pracy wieczorem Tylko tak się zastanawiam jakbym zapisal

	1		1		1		1		1
an+1=		+		+		+..... +		+
	n+2		n+3		n+4		2n+1		2n+2

	1		1		1		1		1
an=		+		+		+..... +		+
	n+1		n+2		n+3		2n−1		2n

Teraz a_n+1−a_n= po odjęciu dostałbym

1		1		1		1		1
	+		−		−		−
2n+1		2n+2		2n−1		2n		n+1

Będzie tu dużo więcej liczenia ale do zrobienia

6latek : dziekuje również g

6latek : Z mojego ni wyjdzie a rozwiązanie g nie bardzo rozumiem

6latek : To naprawdę trochę jest trudne ale chyba już wiem dlaczego g tak napisał

1		1		1
	+		−
2n+1		n+2		n+1

	1		1
Po prostu w wyraźnie a{n+1} znajduja się tez wyrazy		+
	2n−1		2n

Po odjęciu a_n+1−a_n one się skroca .

jc: Nie rozumiem Masz przed sobą wzory dla n=1,2,3,4, i n (ale już z kropkami). Odpowiedz jeszcze raz na pytania (3), (4), (5).

jc: a_n−1 = 1/n + 1/(n+1) + ... + 1/ (2n−2) a_n = 1/(n+1) + ... + 1/(2n−1) + 1/(2n) Zauważyłeś, że a_n uzyskujesz z a_n−1

	1		1		1
odejmując		i dodając		oraz		.
	n		2n−1		2n

1		1		1		1
	+		> 2 *		=
2n−1		2n		2n		n

Zatem dodajesz wiecej niż odejmujesz cooznacza, że a_n > a_n−1.

6latek : Co do (3) to juz wiem

	1
Najmniejszym skadnikiem jest
	2n

	1
Najwiekszym skaldnikiem jest
	n+1

jc: No to teraz odpowiedz na pytania (4) i (5). Zobacza, co to oznacza w przypadku n=1,2,3,4. Przyjrzyj się, czy wszystko się zgadza.

6latek :

	1
Jesli kazdy skadnik tego ciagu zastapie przez		to
	2n

	1		1		1		1		1
an=		+		+		+....		+
	2n		2n		2n		2n		2n

	1		1		1		1		1		1
dla n=1 mam		+		+		+...		+		>
	2		2		2		2		2		2

	1		1		1		1		1
dla n=2 mam		+		+		+....U[1}{4}+		>
	4		4		4		4		2

6latek : Albo tak Ale to musze sobie jaks poukladac jeszce w glowie Mam n wyrazow

	1		1		n
Teraz jesli kazdy skladnik zastapie przez		to n*		=
	n		2n		2n

	1		1
Teraz jesli a n=1 tp		=
	2*1		2

	2		2		1
n=2 tp		=		=
	2*2		4		2

itd

jc: Źle. a₁ = 1/2 a₂ = 1/3 + 1/4, a₂ > 2/4 = 1/2, a₂ < 2/3 < 1 a₃ = 1/4+1/5+1/6, a₃ > 3/6 = 1/2, a₃ < 3/4 < 1 a₄ = 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8, a₄ > 4/8 = 1/2, a₄ < 4/5 < 1 Tu nie ma żadnych kropek!

6latek : jc Czyli tak

	1
Jeśli zastąpimy każdy składnik każdy składnik najmniejszym wyrazem		to każdy wyraz
	2n

	1
tego ciągu poczawszy od drugiego będzie większy od
	2

	1
Jeśli zastąpimy każdy składnik ciągu an największym wyrazem		to każdy wyraz tego
	n+1

ciągu będzie <1 Przykład ten uswiadomil mi jedna rzecz . Znaczy to że żyję , bo jeszcze myśle