ciagi maxmar: Mam takie zadanie "dany jest ciag (an), gdzie an = (2−3+4−5+...−(2n−1)+2n)/n , n jest elementem N₊ Mam obliczyć a3 i zbadać monotoniczność tego ciągu. Aby to zrobić mogę rozbić go na dwa ciągi 2 + 4 + ... + 2n i drugi −3 + −5 + ... + −2n+1? Następnie sprawdzić 2+(k−1)/2=2n i wychodzi n=k Potem suma ((2+2n)n)/2=n+n² −2n+1=−3+(k−1)*(−2) no i tu mam problem bo wychodzi mi −2n+1=−1−2k Jak to obliczyć?

Jack: Masz 2 ciagi 1) 2 + 4 + 6 + ... + 2n 2) −3 − 5 − 7 − ... − (2n−1) w drugim ciagu wyciagnijmy minus, zeby bylo widac,ze to suma 2) − (3+5+7+...+(2n−1)) Suma pierwszego ciagu : a₁ = 2 r = 2 oznaczmy ilosc wyrazow jako x zeby nie mylilo sie z "n" ilosc wyrazow obliczymy ze wzoru a_n = a₁ + (x−1)r (x zamiast n) a_n = 2n zatem 2n = 2 + (x−1)2 = 2 + 2x − 2 = 2x x = n zatem suma₁

	2 + 2n
S1 =		* n = (n+1)n = n2 + n
	2

i jak rozumiem to juz masz. Teraz ta duga suma 2) − (3+5+7+...+(2n−1)) a₁ = 3 r = 2 a_n = 2n−1 2n−1 = 3 + (x−1)2 = 3 + 2x − 2 = 1 + 2x 2x = 2n − 2 x = n−1 <−−tyle mamy wyrazow. zatem suma (oczywiscie przed tym wszystkim minus)

	3 + 2n − 1
S2 = −		* (n−1) = − (n+1)(n−1) = − (n2 − 1) = −n2 + 1
	2

zatem nasz ciag a_n = S₁ + S₂ = n² + n − n² + 1 = n + 1 a₃ = 3 + 1 = 4 Monotonicznosc a_n+1 = n+2 a_n+1 − a_n = n+2 − (n+1) = n+2 − n − 1 = 1 ciag zatem rosnacy.

jc: a_n = (n+1)/n = 1 + 1/n ciąg malejący.

Jack: Zazwyczaj ludzie maja problem z okresleniem ilosci wyrazow Ja zawsze sobie zapisywalem a_n = a₁ + (x−1)r. Nie wiem czy to formalny zapis ale na pewno robi sie mniej bledow. Na przyklad mamy ciag 1,2,3,...,2n+1 To oczywiscie liczba wyrazow wcale nie bedzie n. sprawdzmy wiec ile jeat ich naprawde. 2n+1 = 1+(x−1)1 = 1 + x − 1 = x Zatem wyrazow w tym wypadku jest 2n+1. Tutaj akurat bylo to raczej widoczne, jednak na przyszłosc polecam twn wzor zapisywac w sposob, aby nie mylic oznaczen

Jack: A przepraszam, nie zauwazylem ze ta sume na koncu przez n dzielimy.

	n+1
Zatem mamy
	n

Co oczywiscie sprawia ze to ciag malejacy.

ewrw: γπ