Równanie różniczkowe mileneczka : Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania : Rozwiąż równanie różniczkowe metodą uzmienniania stałej y''−4y'+4y=sin2x z warunkiem początkowym y(0)=1/8 y'(0)=1

jc: Wykonaj kolejne kroki. Trochę się narachujesz.

mileneczka : Twoja podpowiedź nic mi nie mówi jak to mam zrobić ...

jc: Szukasz rozwiązania w postaci u₁ y₁ + u₂ y₂ gdzie y₁ i y₂ są bazowymi rozwiązaniami równania jednorodnego. Dobierasz u₁, i u₂ tak, aby u₁' y₁ + u₂' y₂ = 0 u₁' y₁' + u₂' y₂' = sin 2x Czyli rozwiązujesz układ równań i całkujesz.

mileneczka : nie wychodzi mi

jc: Musi wyjść r² − 4r + 4 = 0. Podwójny pierwiastek r = 2. y₁ = e^2x, y₂ = x e^2x. I licz dalej ...

mileneczka : jak rozpisuje y=c1e²x+c2xe²x a dalej y'=c1'e²x+c12e²x+c2xe²x+c2*2e²x nie wiem czy to dobrze czy źle, gubię się

jc: Piszesz układ równań u₁ ' e^2x + u₂ ' x e^2x = 0 u₁ ' [e^2x] ' + u₂ [x e^2x ] ' = sin 2x wyliczasz u₁ ' = ..., u₂ ' = ... Całkujesz ... Wstwiasz do wzoru y = u₁ y₁ + u₂ y₂. Jeśli przy całkowniu uwzglednisz stałe, masz wszystko. W przeciwnym wypadku musisz dodać C₁ y₁ + C₂ y₂. Ja użyłem oznaczen u₁, u₂ bo to nie są stałe. Jak chcesz mieć indeksy używaj znaku podkreślenia. Jak chcesz mieć złozone indeksy i wykładniki, umieszczaj je w { }. Wpisuj spacje, będzie czytelniej.

piotr1973:

	1
y(x)=c1 e2 x+c2 x e2 x +		cos(2 x)
	8

mileneczka : Odpowiedź to i jak znam

piotr1973: z warunkiem początkowym y(0)=1/8 y'(0)=1 mamy:

	1
y(x) = xe2 x +		cos(2 x)
	8

mileneczka : jak to zrobiłeś ?

jc: Wynik łatwo odgadnąć ... szukając odpowiedzi w odpowiedniej postaci