Równanie rekurencyjne niejednorodne Klaudia: Witam. Proszę o małą podpowiedź do zadania z równań rekurencyjnych niejednorodnych. Zadanie to: dla podanego równania niejednorodnego wyznaczyć a_n^p, tzn. przewidzieć a_n^p i obliczyć wszystkie stałe. a_n = 3a_n−2 + 2a_n−3 − 2*(−1)ⁿ +4n dla n>=3, a₀ = 0, a₁ = 1, a₂ = 4. Problem polega na tym, ze gdy było równanie typu b_n = 16b_n−2 − (−4)ⁿ dla n>=2 to wiadomo że b_n^p obliczało się tak: r² = 16 r = −4 lub r=4 itd, wyliczanie stałej A w b_n^p, tam dalej już zrobię z wyznaczaniem b_n^p. Natomiast tutaj mam dwa wyrazy zamiast jednego: zamiast 16b_n−2 mam 3a_n−2 + 2a_n−3 Co w tej sytuacji podstawić za 'r'? Czy zapisać to tak: r² = 3 r³ = 2 i zrobić z tego jakiś układ równań? Proszę bardzo o pomoc, choćby małą podpowiedź.

jc: Zacznij od jednorodnego. r³ − 3r − 2 = 0 r³ − 3r − 2 = (r+1)² (r−2) rozwiązania bazowe: (−1)ⁿ, n(−1)ⁿ, 2ⁿ Rozwiązanie równania niejednorodnego. Spróbuj podstawić An+B. Tak uzyskasz wyraz 4n. Aby uzyskać wyraz (−1)ⁿ podstaw (−1)ⁿ (C+Dn+En²) powinno się udać.

jc: a_n = K 2ⁿ + L (−1)ⁿ + M n (−1)ⁿ − n − (1/3) n² (−1)ⁿ Sprawdź i dobierz K,L,M tak, aby być w zgodzie z warunkami początkowymi. Jeśli coś nie wyjdzie, popraw współczynniki przed dwoma ostatnimi składnikami.

Klaudia: Okej, póki co wyszło mi to do momentu Twoich rozwiązań bazowych, ale dlaczego jest n(−1)ⁿ a nie (−1)ⁿ? Bo moje rozwiązanie to: a_n^h=K 2ⁿ + L (−1)ⁿ + M (−1)ⁿ bez tego 'n' przed tym czynnikiem. Skąd bierze się to 'n' przy −1 ?

Klaudia: Czy może to co napisałeś odnosi się też do reszty czynników tego równania?

jc: (−1) jest pierwiastkiem dwukrotnym, dlatego oprócz (−1)ⁿ pojawia się n (−1)ⁿ. Sprawdź, że faktycznie jest to rozwiązanie. Chodzi o dwa ostatnie skadniki, czyli szczególne rozwiąznie równania niejednorodnego. Mogłem się pomylić.

Klaudia: Ok, do tego momentu rozumiem. Później od ...− n − (1/3) n² (−1)ⁿ już nie... Niestety omawiane na zajęciach miałam jedynie te równania gdzie składnik był jeden dla a_n^p i jeden dla a_n^h, a z tego co widzę to robi się to trochę inaczej, bierze się chyba więcej stałych i dokłada coś typu 1ⁿ przy niektórych wyrazach (jedno podobne zadanie mam gotowe robione przez wykładowcę u innej grupy zajęciowej). Mimo wszystko dziękuję, może jakoś to potem ogarnę.

jc: Próbujesz znaleźć rozwiązanie w postaci An (związne −4n), oraz rozwiązanie postaci F n² (−1)ⁿ (związane z −2(−1)ⁿ ). Suma An + F n² (−1)ⁿ powinna dać −2(−1)ⁿ − 4n tylko należy dobrać odpowiednio A i F.

Mariusz: Nie lepiej zastosować funkcję tworzącą A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ Wstawiasz do równania i równanie samo się rozwiązuje