Ciag 6latek : Mam ciag o wyrazie ogolnym a_n= √n czy ten ciag jest rosnący ,czy malejący ? no to badam roznice a_n+1−a_n a_n+1= √n+1

	√n+1+√n		n+1−n
an+1−an= √n+1−√n *		=		=
	√n+1+√n		√n+1+√n

	1
	√n+1+√n

W związku z tym ze n∊N₊ to ciag ten jest rosnący Dobrze ?

===: chyba jak dotąd to nic nie wykazałeś

6latek : WItam Pewnie skrocilem myslenie . Licznik 1>0 i mianownik tez >0 w związku z tym cale to wyraźnie jest dodatnie Wiec ciag ten jest rosnący

Jack: Ciag ten jest malejacy gdyz mamy ze :

	1
...=
	√n+1 +√n

Dla kolejnych "n" mianownik bedzie coraz wiekszy wiec wartosc ulamka bedzie malec.

Benny: Jack przeczytaj dokładnie, przemyśl i popraw się

===: łatwiej tak:

an+1
	=
an

Jack: Aj zle spojrzalem. Oczywiacie ze jest on rosnacy, gdyz licznik i mianownik sa dodatnie.

6latek : Tak Masz racje ze latwiej bo may wtedy

√n+1		√n+1*√n
	=		>0
√n		n

To samo uzasdanienie

Jack: Albo tak

√n+1		n+1		1
	= √		= √1 +
√n		n		n

Jack: Ah ile czasami namieszam. Pardon

6latek : W sumie w zadaniu mam 13 takich wzorow ogolnych ale jeszcze jeden z nich jest ciekawy

	√5+1n−√5
an=		= n(p{5+1n−√5) ( po przekształceniu
	1n

Jak tutaj wykazac czy rosnący czy malejący ?

jc: Pokazałeś, że a_n+1−a_n = 1/(√n+1 + √n) > 0, czyli że ciąg jest rosnący. W jednym miejscu napisałeś coś bez sensu, ale poprawnie (jeden pomnożone przez dowolną liczbę, daje tą samą liczbę). Znajdź to miejsce i popraw. Dowód, choć poprawny, wydaje się niepotrzebnie skomplikowany. Spróbuj powtórzyć dla a_n = n^1/3. Wydaje się, że prościej nie wprost. Gdyby √n+1 ≤ √n, to mielibyśmy n+1 ≤ n, czyli 1 <0. Zatem musi być odwrotnie, czyli √n+1 > √n. A jak chcesz coś trudniejszego, to sprawdź monotonicznośćć ciągu a_n = 2√n − √n+1 − √n−1.

6latek : WItaj jc NIe wiem w którym miejscu Wydaje mi się ze jak dla mnie to takie przykłady wystarcza jednak później zmierze się z tym a_n= ³√n Tutj wydaje mi się ze należy skorzystać ze wzoru a³−b³= (a−b)(a²+ab+b²) i domnozyc to prezez ten ostani czynnik jednak będzie to dla mnie trudne i dlatego zostzwie to na później tak się zastanawiam nad tym ciagiem ostatnim a_n= 2√n−√n+1−√n−1 Nie wiem czy dobrze kombinuje ale tutaj zrobiłbym to na dwa razy Najpierw to 2√n+1−√n+2 chciałem to pomnozyc przez sprzężenie i potem to co wyjdzie −√n−1+1 i tez pomnozyc przez sprzężenie Ale to chyba niezbyt dobry pomysl .

jc: To popatrz, co napisałeś a_n+1 − a_n = ... tu ...

6latek : = √n+1−√n* itd. a co jest zle ?

jc: Czy na prawdę chciałeś pomnożyć tylko drugi składnik? Wynik poprawny, bo mnożysz przez jeden, ale chyba nie to chciałeś napisać.

6latek : No tak . teraz zauwazylem =(√n+1−√n)* Dzieki za poprawienie

jc: To jest typowy błąd, jaki popełniają uczniowie w takich zadaniach. Trudno powiedziec, czy to błąd, bo wynik jest poprawny. Jak byś ocenil takie rozwiązanie?

6latek : Na maturze to jednak bylbym surowy Na sprawdzianie dalbym dobra ocene ale zwrocilbym uwage na to uczniowi

6latek : Chociaz jesli by mialo zalezec od tego czy zda mature to tez nie bylbym taki surowy