granica www: Oblicz lim_{x →0} (x⁰+x⁻¹+x⁻²+...)/x

Jack: W nawiasie szereg geometryczny

	a1
S =
	1−q

Dziedzina szeregu : |q|<1 U Ciebie a₁ = x⁰ q = x⁻¹

www: a czemu zakładasz ze to szereg geometryczny

Jack:

	1
No bo kazdy kolejny wyraz powstaje przez pomnozenie poprzedniego razy
	x

Czyli x⁻¹

www: no tak ale czemu że |¹ _x|<1

Jack: Tak sie okreslalo dziedzine szeregu. Znasz wzor na sume ciagu geometr.?

www: no znam ale kto powiedział ze jest właśnie taka dziedzina? a co gdy |x|≥1?

6latek : Ciag geometryczny a_n= a₁*qⁿ⁻¹ ma granice rowna 0 jeśli wartość bezwzgledna ilorazu ciągu q jest mniejsza od 1 czyli |q|<1 Jeśli |q|<1 to suma nieskończonego ciągu geometrycznego jest skonczona i ma wartość

	a1
S=		, |q|<1
	1−q

www: 6latek znam ten wzór, ale ja sie pytam o granicę też dla |q|≥1

Jack: zał. x ≠ 0

	a1		x0		1		x
S =		=		=		=
	1 − q		1   1 −   x		x−1   x		x−1

	x     x−1		1		1
lim (		) = lim		=		= − 1
	x		x−1		−1

x−>0 oczywiscie dziedzina

1		1
	> − 1 /\		< 1
x		x

x + 1		1 − x
	> 0 /\		< 0
x		x

(x+1)x > 0 /\ x(1−x) < 0 x∊(−∞;−1) U (0;∞) /\ x∊(−∞;0) U (1;∞) zatem x ∊ (−∞ ; −1) U (1;∞) jednakze wlasciwie nwm czy trzeba okreslac dziedzine gdy mamy granice... ale chyba powinno sie.

6latek : No to z tego prosty wniosek ze wtedy masz ciag rozbieżny . Może ktoś inny jeszcze wypowie się na ten temat

www: a gdy |q|≥1 to co wtedy nie moge liczyć tej granicy?

Jack: dla q > 1ciag jest rozbiezny i granicy nie da sie obliczyc... gdyz dazy do nieskonczonosci. dla q = 1 ciag jest staly i suma to ilosc wyrazow. Jednak jak mowie −> wyrazow masz nieskonczonosc. Zeby obliczyc granice, to musza one dazyc do jakiejs wartosci bo inaczej, to ciag rozbiezny −>> nieskonczonosc elementow i kazdy z nich dazy do nieskonczonosci...no nie obliczysz tego

www: Jacek ok, a ile wynosi w takim razie ta granica przy x dążącym do 0⁻

Jack: tyle samo co przy x−>0 i tyle samo ile granica przy x−>0⁺

www: nie bo dla |q|≥1 mamy naprzemian raz + raz − nieskończoność

www: wogole jakim prawem wy zakładacie ze to |q|<1

Jack: ... spojrz na taki ciag 2,4,8,16, ... widzisz ze kolejne wyrazy powstaja przez pomnozenie razy 2 (czyli q = 2) 2*2=4, 4*2 = 8 itd. gdybysmy chcieli obliczyc sume tych wyrazow to mamy 2+4+8+16+ ... i teraz widzimy, ze ta suma dazy do nieskonczonosci, bo mamy nieskonczona ilosc wyrazow. Mozemy tylko stwierdzic ze dazy do nieskonczonosci. inny ciag 2,−4,8,−16,... widzimy ze q = − 2 Suma takiego ciagu bylaby bardzo trudna do okreslenia, gdyz jak napisales − mielibysmy − raz + a raz − nieskonczonosc. zatem dla |q|>1 mamy ciagi, ktorych suma jest nieskonczonosc, albo takie ktore ciezko okreslic jednoznacznie. zatem po co to wgl liczyc? wiec liczymy tak jakby dla skonczonej ilosci wyrazow nieskonczonego ciagu. gdyz ciag

	1		1
1,		,		, ...
	2		4

widzimy ze jest malejacy i dazy do zera. Skoro dazy do zera, to ustalamy ze w koncu dojdzie do tego zera i dlatego ma (tak jakby) skonczona ilosc wyrazow. A jak cos ma koniec, to mozna to policzyc. Zatem liczymy to dla |q|<1, bo tylko wtedy jestesmy w stanie znalezc jakis koniec.

Jack: PS poczytaj o ciagu i szeregu geometrycznym, na pewno cos na ten temat w ksiazce jest.

www: ale tu jest granica przy x dążacym np do 0⁻ takiej sumy 1/x+1/x²+.... i wtedy co ? wg mnie mam raz + raz − nieskończoność. I jak wtedy wykazac moze w takim razie czy ta granica wogóle istnieje?

www: lub nie?

6latek : Jeśli jesteś studentem to najlepiej zapytaj się swojego prowadzącego jeśli uczniem to nauczyciela

Jack: jesli by na poczatku nie bylo x⁰, tylko bysmy mieli

1		1		1
	+		+		+ ...
x		x2		x3

i obliczyc z tego granice lim x−>0⁻ to ta granica wynosi ∞, a dla x−>0⁺ to minus ∞

6latek : Jack Mysle z elepiej zostawić to studentom Przeciez 0^o (dla licealisty nie oznacza nic

Jack: oczywiscie mialem na mysli sume :

	1   1   + + ... x   x2
lim
	x

x−>0⁻

Jack: @6latek sadzilem ze to licealista...

Jack: jeszcze dokoncze. jesli masz na mysli takie cos

	1		1		1
lim (		+		+		+ ...)
	x		x2		x3

x−>0⁻ to ta granica wynosi − 1 dla lewo i prawo stronnej oraz glowna tez tyle wynosi.

www: Jacek czemu w poście twierdzisz że ta granica wynosi −1? skąd to ?

Jack: w ktorym poscie?

Jack: jesli masz na mysli post 11:01

	a1
standardowo S =
	1−q

	1   x		1   x		1		x		1
S =		=		=		*		=
	1   1 −   x		x−1   x		x		x−1		x−1

zatem

	1		1
lim		=		= − 1
	x−1		−1

x−>0⁻ jak podstawiamz a iks 0, to mi bez roznicy w tym wypadku czy lewo czy prawo stronne, bo mam w mianowniku jeszcze jedynke.

www: z 11:01

www: nadal twierdze czemu liczysz jako szereg geometryczny?

www: No niech juz bedzie a co gdy |q|≥1

Jack: bo to jest szereg geometryczny. A jak wg Ciebie powinno to byc policzone? bo ja innego sposobu nie znam. Chyba ze masz na mysli na piechote, ale to powodzenia zycze

Jack: no to przeciez pisalem, dla |q| > 1 jest nieskonczonosc/−nieskonczonosc i liczenie nie ma zadnego sensu.

www: Ok więc |q| > 1 ok przy x dążącym do 0⁺ to się zgadzam. Ale tego nie widzę gdy x dązy do 0⁻ dla 1/x+1+x²+....

Jack: nie wiem co widzisz a czego nie, ale czy granica jest przy 0 lewo czy prawostronnym to u nas nie ma kompletnie zadnego wplywu.

www: chciałbym sie dowiedziec ile wynosi granica (załózmy dla tego |q| > 1) przy x dązy do 0⁻ tej sumy 1/x+1+x²+... To jest nie wyjasnione

Jack: dla |q| > 1 przyjmujemy ze sie nie da policzyc,

www: no ok