całki nieoznaczone xyz: Witam, mam problem z takimi całkami: 1) ∫x⁴√4x²+11 / w tej zrobiłam podstawienie t=4^x2+11 / dt = 8x / ale coś mi nie wychodzi, więc pewnie źle

	2x
2) ∫
	√1−4x

Doszłam w tej drugiej do momentu:

	t		dt
∫
	√1−t2		ln2*2t

Ale nie wiem jak to teraz poskracać.

Mariusz: 1) √4x²+11=t−2x 2) t=2^x

Mariusz: Jak znasz rosyjski to sobie poczytaj http://mariuszm2011.republika.pl/Eulergeom.pdf Jak nie znasz to masz skany https://matematykaszkolna.pl/forum/326757.html ale to tylko tłumaczenie i mogą być błędy (nie znam rosyjskiego aby sprawdzić)

Leszek: druga calka: podstawienie: 2^x=t ; 4^x=t² , dx=dt/(2^x*ln2) otrzymujesz calke: 1/ln2 ∫dt/√1−t² = 1/ln(2)*arcsin(t) +C ostateczny wynik to: 1/ln(2)*arcsin(2^x) + C

jc:

	2x		1		d 2x		arcsin 2x
∫		dx =		∫		=
	√1−4x		log 2		√1 − (2x)2		log 2

Mariusz: ∫x⁴√4x²+11dx √4x²+11=t−2x 4x²+11=t²−4tx+4x² 11=t²−4tx 4tx=t²−11

	t2−11
x=
	4t

	4t2−2t2+22		t2+11
t−2x=		=
	4t		2t

	2t*4t−4(t2−11)
dx=		dt
	16t2

	t2+11
dx=		dt
	4t2

	(t2−11)4	t2+11	t2+11
∫				dt
	256t4	2t	4t2

1		(t4−22t2+121)(t4−121)
	∫		dt
2048		t7

1		t8−22t6−2662t2−14641
	∫		dt
2048		t7

Mariusz: Zdaje się że źle wymnożyłem

1		(t2−11)2(t4−121)2
	∫		dt
2048		t7

1		(t4−22t2+121)(t8−242t4+14641)
	∫		dt
2048		t7

1		t12−22*t10−121*t8−14641*t4+5324*t6−322102*t2+1771561
	∫
2048		t7

jc: Mariusz, wiadomo jak, ale po co? Komputer to zrobi lepiej.

Mariusz: Jak możemy z niego skorzystać i mamy odpowiednie programy ...

	W(x)
Jeżeli mamy całkę postaci ∫		dx a>0
	√ax2+bx+c

to pierwsze podstawienie Eulera i skorzystanie z liniowości całki da całkę ∫t^αdt

	W(x)
Jeżeli mamy całkę postaci ∫		dx a<0
	√ax2+bx+c

to lepiej całkować przez części lub ewentualnie użyć metody współczynników nieoznaczonych

jc: Mariuszu, programów całkujących od lat nie brakuje. Na prawdę uważam, że lepiej uczyć się innych rzeczy, niż ćwiczyć straszne rachunki. Dotyczy to oczywiście również innych zadań, choćby funkcji kwadratowej, szczególnie z parametrem. Ile można? Logarytmów. Dziesiątki zadań w pierwszej klasie, a po kilku latach uczeń nie pamięta wzoru na logarytm lioczynu. Do pewnego stopnia oczywiście trzeba.

jc: Mariusz, pamiętam Twoją odpowiedź na podobne stwierdzenie. Zepsuty komputer ... Nie takie rzeczy zdarzają się na świecie. Ale to nie nawigacja na środku morza, ani lot na Księżyc (pamiętsz filmową scenę z suwakiem?).

Mariusz: Jeśli chodzi o analizę to http://matwbn-old.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=15&wyd=10&jez=pl http://kielich.amu.edu.pl/Stefan_Banach/pdf/rachunek1.pdf http://kielich.amu.edu.pl/Stefan_Banach/pdf/rachunek2.pdf te pdf można pobrać za darmo ale jedynie u Fichtenholza widziałem skąd się podstawienia Eulera wzięły Twierdzisz że już Διόφαντος się parametryzacją tych krzywych zajmował ?

jc: Wydaje mi się, że czytałem o tym w Historii matematyki. Chodziło o wymierne rozwiązania równań np. x² − y² = 1. W każdym razie z wymienioną konstrukcją spotkałem się już kilka razy. Np. Książka Koblitz Wstęp do krzywych eliptycznych ... (pierwsza strona). Myślałem, że jakaś głębsza myśl kryje się za tymi podstawieniami, a tu chodziło o wymierną parametryzację.

jc: Mariusz, Historia matematyki Juszkiewicza, strona 161 (o Diofantesie).