Z urny zawierającej b kul białych i c=n-b czarnych losujemy kule... Adam: Z urny zawierającej b kul białych i c=n−b czarnych losujemy kule, nie zwracając ich po losowaniu tak długo dopóki nie wylosujemy kuli czarnej. Podaj rozkład prawdopodobieństwa i wartość oczekiwaną zmiennej losowej X przyjmującej wartości równe liczbie wylosowanych kul białych. Takie oto zadanko dostałem do rozwiązania i niestety nie potrafię tego ruszyć, proszę o pomoc.

g: P(0) = c/n P(1) = b/n * c/(n−1) P(2) = b/n * b/(n−1) * c/(n−2) ... P(k) = b^k * c * (n−k−1)! / n! k=0 do b X_śr = ∑P(k)*k

Adam: Okej, a mógłbyś wyjaśnić ostatnią linijkę, bo kompletnie tego nie ogarniam niestety... Pierwsze linijki to rozumiem, że są to po prostu możliwości po którym wypadnie nam czarna, tak? Niestety części o zmiennej losowej nie ogarniam kompletnie, proszę o jakieś wyjaśnienie jeśli mógłbyś, byłbym wdzięczny.

g: Teraz będzie nieformalnie, bardziej na intuicję. Rzucasz kostką 100 razy. Kostka jest nierówna i różne liczby wypadają z różnym prawdopodobieństwem. Budujesz histogram tego eksperymentu, czyli tabelkę: numer na kostce K / liczba wypadnięć N(K). K N(K) 1 20 2 15 3 30 4 7 5 18 6 8 Sumę wypadniętych liczb K w całym eksperymencie można policzyć tak SK = ∑N(K)*K. Jeśli podzielimy to przez 100, to otrzymamy średnią K K_śr = SK/100 = ∑(N(K)/100)*K. Ale liczbę N(K)/100 można traktować jako prawdopodobieństwo wypadnięcia K, więc K_śr = ∑P(K)*K.

Adam: Okej, w takim razie już rozumiem. A co do tego początku, czy to nie powinno być zapisane według schematu bernoulliego?

g: A umiesz to uzasadnić?

Adam: Jeśli mamy mieć przy pierwszej próbie czarną, to jest to prawdopodobieństwo wylosowania czarnej po prostu, w drugiej, to będzie prawdopodobieństwo wylosowania białej razy prawdopodobieństwo wylosowania czarnej razy dwumian newtona (tylko teraz zastanawiam się jaki ten dwumian by musiał być) itd, czy źle myślę? Mógłbyś wytłumaczyć swój sposób? Może wtedy by mi to rozjaśniło

g: Zauważyłem błąd w swoim rozwiązaniu. Powinno być: P(0), P(1) bez zmian P(2) = b/n * (b−1)/(n−1) * c/(n−2) P(3) = b/n * (b−1)/(n−1) * (b−2)/(n−2) * c/(n−3) P(k) = (b! / (b−k)!) * ((n−k−1)! / n!) * c P(k) to prawdopodobieństwo sekwencji BBB... (B k razy) C. Jest ono iloczynem prawdopodobieństw warunkowych, pod warunkiem, że poprzednio wyciągnięto ileś tam białych. Na przykład pr. wyciągnięcia drugiej białej to (b−1)/(n−1), bo jest ono uwarunkowane założeniem, że jedna biała już ubyła.

	b k
Na siłę można użyć dwumianu Newtona, bo: b! / (b−k)! =		*k!

	1
oraz (n−k−1)! / n! =
	n k+1   *(k+1)!

	b k   c *
P(k) =
	n k+1   *(k+1)

Adam: Noo, teraz to już wszystko rozumiem, wielkie dzięki za pomoc, naprawdę jestem Ci wdzięczny! Przy okazji, jeśli masz czas lub będziesz miał ochotę, powiesz mi czy dobrze myślę o kolejnym zadaniu? Czas X bezawaryjnej pracy danego urządzenia jest zmienną losową X o gęstości f(x)=[tu jakiś wzór, chyba nieistotne i tak] A. Oblicz prawdopodobieństwo P(5≤X≤10) i zaznacz na wykresie funkcji gęstości B. Wyznacz i narysuj dystrybuantę zmiennej losowej X i zaznacz prawdopodobieństwo obliczone w poprzednim podpunkcie Czyli muszę sobie po prostu policzyć f(1), f(2) itd do f(10) i potem odjąć f(5) od f(10)? Miałem coś podobnego w jednym zadaniu i +/− coś takiego się robiło, tylko nie jestem pewny czy po prostu podstawiało się różne liczby za X czy to nie było przypadkiem związane z jakimś rozkładem teoretycznym?