nierówność dorota17: Z konkursu − moze ktoś umie nierówności a,b,c liczby wymierne,różne, różne od 0, pokaż ze a²/(b−c)² + b²/(c−a)² + c²/(a−b)² ≤2

dorota17: Nikt tu się nie zna na nierównościach?

jc: Jeśli z aktualnego konkursu, to nie pomagamy Podstaw a = 1, b= 1/2, c = 1/3. Co otrzymasz?

dorota17: sory brakło mi połowy zadania a,b,c liczby wymierne,różne, różne od 0, a²/(b−c)² + b²/(c−a)² + c²/(a−b)² ≤2 Pokaz ze √(b−c)²/a² + (c−a)²/b² + (a−b)²/c² jest liczbą wymierną

dorota17: Poprawiłam treść

Zbyszko: Z jakiego konkursu?

dorota17: Już dawny, wiec nie trwajacy

Krzysiek: Ja jutro zrobię

dorota17: czemu jutro?

dorota17: choc ok

jc: A czy w ogóle istnieją liczby wymierne spełniające nierównoość z założenia? a = −180, b = 1369, c=1009 dają liczbę niewiele większą od , ale jednak większą.

www: no a czemu sadzisz ze ich nie ma?

jc: Myślę, że są takie liczby.

www: ale napisałes: jc: A czy w ogóle istnieją liczby wymierne spełniające nierównoość z założenia?

jc: Przykład: a=−15, b=9, c=16. Pierwsza suma daje 2, druga suma daje (343/120)². Myślę, że w nierównośći może zachodzić tylko równość i to jest klucz do rozwiązania.

www: no ciekaw jestem jak to pokazć

jc: Oto rozwiązanie:

	a		b		c		xy+1
Jeśli x =		, y =		, to =		=		.
	b−c		c−a		a−b		x+y

	1+xy
Mamy nierównośc: x2 + y2 + (		)2 ≥ 2,
	x+y

przy czym równość zachodzi tylko w przypadku x² + xy + y² = 1. W zadaniu mamy nierównośc w drugą stronę, a więc faktycznie mamy równośc.

	xy+1
Jeśli x2+xy+y2=1, to		= x+y i dalej
	x+y

1		1		1		x2+y2+xy
	+		+		= (		)2.
x2		y2		(x+y)2		x y (x+y)

Wniosek: jeśli a,b, c spełniają założenia zadania, to zachodzi teza zadania.

jc: Dodam, że nierówność wynika z tożsamości:

	xy+1		x2+y2+xy−1
x2 + y2 + (		)2 = 2 + (		)2
	x+y		x+y

jc: A tak na zakończenie znalazłem ∞ wiele trójek liczb całkowitych a,b, c spełniających warunki zadania: a= − (1+2t) b = (1+t)² (t−1) c = t²(2+t) t=2,3,4,5, ...