Pamparampampam Jack: #Cardano Miedzy macierzami a calkami... Moglby ktos sprawdzic? x³−3x²−18x+40=0 podstawienie

	b
x = y −		= y + 1
	3a

(y+1)³ − 3(y+1)² − 18(y+1) + 40 = 0 y³ + 3y² + 3y + 1 − 3(y²+2y+1) − 18y − 18 + 40 = 0 y³ + 3y² − 15y + 23 − 3y² − 6y − 3 = 0 y³ − 21y + 20 = 0 y = u + v (u+v)³ − 21(u+v) + 20 = 0 u³ + v³ + 3u²v + 3uv² − 21u − 21v + 20 = 0 u³ + v³ + 3uv(u + v) − 21(u+v) + 20 = 0 u³ + v³ + (u+v)(3uv − 21) + 20 = 0 zeby to nam sie wyzerowalo, no to u³ + v³ + 20 = 0 albo 3uv − 21 = 0 zatem u³ + v³ = − 20 uv = 7 −>>> u³v³ = 7³ = 343 ze wzorow vieta x² + Bx + C = 0 − B = − 20 −> B = 20 C = 343 sa to pierwiastki rownania z² + 20z + 343 = 0 Δ = 400 − 1372 = −972 √Δ = √i² * 972 = i * 18√3 (albo − i * 18√3) − nwm jak potraktowac √i² = |i| =?

	− 20 − i * 18√3
z1 =		= − 10 − i*9√3
	2

	−20 + i * 18√3
z2 =		= − 10 + i*9√3
	2

no i wlasciwie nwm co dalej... [ciag dalszy nastapi?]

Saizou : osobiście wolę metodę T. Harriota opisaną na dole strony http://www.math.us.edu.pl/pgladki/faq/node127.html

Jack: no prosze, czyli robie 2 podstawienia najpierw

	b
x = y −
	3a

a nastepnie w rownaniu y³ + py + q = 0

	p
y = z −
	3z

czy to twierdzenie jest uniwersalne? tak jak cardano?

Saizou : z tego co wiem to tak, ale mogę się mylić, musiałbym zajrzeć do literatury, ale nie posiadam biblioteki w domu Mnie nigdy nie zawiodła

Jack: no dobra, to mam y³ − 21 y + 20 = 0

	21		7
podstawiam y = z +		= z +
	3z		z

	7		7		9261
(z +		)3 − 21( z +		) + 20 = ... = z3 +		+ 20 =
	z		z		27z3

	343
= z3 +		+ 20
	z3

niech t = z³

	343
t +		+ 20 = 0 / * t (zał. t ≠0)
	t

t² + 20t + 343 = 0 a no i wlasciwie dochodze do tego samego momentu jak jestem czyli Δ = ... t₁ = − 10 − i*9√3 t₂ = − 10 + i*9√3 tylko nadal niezbyt wiem co dalej...

Mariusz: Saizou co jeśli z będzie równe zero ? Jack sposób który przedstawiłeś jest wygodniejszy no i nie trzeba rozbijać równania na przypadki

Mila: Ja też wolę Harriota.

Jack: Ale moglby ktos lowiedziec co dalej Bo mam "z" obliczone a potrzebuje iksy

Mariusz: Mila i dzielenie przez zero też wolisz Jack rozwiązywałeś układ równań u³ + v³ = − 20 uv=7 u³ + v³ = − 20 u³v³=343 Pierwiastki równania kwadratowego które znalazłeś to u³ oraz v³ Jak wiesz w zespolonych pierwiastek to zbiór liczb Znajdź takie u oraz v aby spełniony był układ u³ + v³ = − 20 uv=7 Z tym Harriotem jest podobnie tylko wybierasz jeden pierwiastek równania kwadratowego i bierzesz pierwiastek trzeciego stopnia

Mariusz: Przejrzyj sobie jak Vax to rozwiązywał http://www.matematyka.pisz.pl/forum/98255.html http://www.matematyka.pisz.pl/forum/98288.html http://www.matematyka.pisz.pl/forum/99243.html

Jack: Ok, dzieki, przejrze na pewno

Mariusz: Tu masz także przedstawione jak rozwiązywać równania czwartego stopnia W tych wątkach Vax przedstawił sposób rozwiązywania równań trzeciego i czwartego stopnia użytkownikowi ICSP Ja Vaxowi pokazałem jak rozwiązywać takie równania więc gdyby Vax albo ICSP się nie zjawili a ty byś miał jakieś pytania to pisz Ja wolę podstawienie y=u+v bo mam pewność że nie wyskoczy dzielenie przez zero Jeżeli nie miałeś zespolonych a miałeś trygonometrię (wzory na funkcje trygonometryczne sumy), wiadomości o funkcjach (wraz z funkcją odwrotną) to zespolonych można uniknąć

Metis: oj Mariusz za te twoje "docinki" do naszych Pań nie powinieneś zasługiwać na uwagę... Po co te dodatkowe komentarze? Pani Mila i prosta poświęcają czas takim ja, innym użytkownikom, i wielu z Nas naprawdę wiele im zawdzięcza. A takie komentarze niczego nie wnoszą.

Mariusz: W moim przypadku Pani prosta zaspamowała mi temat Co do Pani Mili to pozwoliłem się tylko nie zgodzić z nią bo przy proponowanym przez nią podstawieniu trzeba uważać na dzielenie przez zero

Metis: Uwierz mi, nie zgadzać można się w naprawdę bardziej kulturalny sposób.

jc: y³ − 21 y + 20 = 0 Przecież jedno rozwiązanie jest oczywiste: y = 1 y³ − 21 y + 20 = (y−1)(y²+y−20) Pozostałe pierwiastki to y = 4 oraz y = −5

jc: Można też tak (tylko po co?): y = 2 √7 cos α/3 y = 2 √7 cos (α/3 + π/3) y = 2 √7 cos (α/3 − π/3) gdzie α = arcos 10 / 7^3/2

Mariusz: Wiem ale domyślam się że bardziej niż na rozwiązaniu zależy mu na przećwiczeniu ogólnej metody na takie równania Zdaje się że w wątku do którego dałem odnośnik to równanie podane jest jako przykład Ogólna metoda mu się przyda bo jak ktoś mu da złośliwy przykład do policzenia wartości własnych macierzy 3x3 albo 4x4 Przyda się także gdy będzie miał do policzenia całkę z funkcji wymiernej gdzie w mianowniku będzie wielomian trzeciego stopnia Wielomian taki możemy dostać także przy rozwiązywaniu równania rekurencyjnego (liniowego o stałych współczynnikach) czy przy odwracaniu transformaty Laplace

jc: Mariusz, tylko, że w przypadku, kiedy mamy 3 różne pierwiastki rzeczywiste wielomianu o współczynnikach rzeczywistych we wzorach Cardano pojawiają się pierwiastki 3 stopnia z liczb zespolonych. Mozna od razu zapisać wynik w postaci trygonowmtrycznej, co zrobiłem w drugim wpisie. W ogóle tylko raz widziałem sensowne zastosowanie wzorów Cardano. Czy znasz zadanie o studni i patykach prowadzące do równania 4 stopnia?

Mariusz: Po zastosowaniu wzoru de Moivre ten wynik z funkcjami trygonometrycznymi by dostał To te zadanie https://matematykaszkolna.pl/forum/16031.html ?

Mariusz: Widziałem jeszcze jedno ale jak chcesz to możesz je przedstawić

Jack: Chcialem po prostu sie dowiedziec jak obliczac rownania gdzie pierwiastki wymierne ciezko znalezc albo nawet nie istnieja. inny przyklad x³ − x + 2 = 0 x = u + v (u+v)³ − (u+v) + 2 = 0 u³ + v³ + 3u²v + 3uv² − (u+v) + 2 = 0 u³ + v³ + 3uv(u+v) − (u+v) + 2 = 0 u³ + v³ + uv(3uv − 1) + 2 = 0 u³ + v³ = − 2

	1		1
uv =		<−− u3v3 =
	3		27

	1
z2 + 2z −		= 0
	27

27z² + 54z − 1 = 0 Δ = 3024 = 4√189 = 12√21

	−54 − 12√21
z =		= − 27 − 6√21
	2

z = − 27 + 6√21 u³ = − 27 + 6√21 v³ = − 27 − 6√21 wiec szukam wzorow skroconego mnozenia

	√21 − 3		−√21 − 3
znajduje liczby (		)3 oraz (		)3
	2		2

zatem

	√21 − 3
u =
	2

	−√21 − 3
v =
	2

x = u + v zatem

	√21 − 3		−√21 − 3
x =		+		= − 3
	2		2

cos chyba jest nie tak...

jc: Pierwiastek zamiast potęgi u³ = −27 + 6 √21 u = (−27 + 6 √21)^1/3 ...

Mariusz: Błąd masz przy zapisywaniu równania kwadratowego z układu równań przypominającego wzory Vieta dla trójmianu kwadratowego Jak wygląda wzór Vieta na iloczyn pierwiastków trójmianu kwadratowego ?

Jack: Tam jest plus...no tak Dzieki

Mariusz: Jack jak chcesz poczytać o tym to przejrzyj pdf http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf albo http://bcpw.bg.pw.edu.pl/Content/1342/zip/

jc: Źle przeczytałem Tak przy okazji, wydaje mi sie, że wzory Cardano przydają się tylko do układania zadań, gdzie prosta liczba zapisana jest w dziwny sposób. (5 √2 + 7)^1/3 − (5 √2 − 7)^1/3 (√5 + 2)^1/3 − (√5 − 2)^1/3 (9 + 4 √5 )^1/3 + (9 − 4 √5 )^1/3 Jeśli niczego nie pomyliłem, to w każdym przypadku mamy jakiś prosty wynik.

Jack:

	1
z2 + 2z +		= 0
	27

27z² + 54z + 1 = 0 Δ = 2916 − 108 = 2808 √Δ = 2√702 = 6√78

	−54 − 6√78		−9 − √78		√78
z =		=		= − 1 −
	54		9		9

	− 9 + √78		√78
z =		= − 1 +
	9		9

	√78
u3 = − 1 −
	9

	√78
v3 = − 1 +
	9

szukam wzorow skroconego... dobra poddaje sie bez sensu...

Mariusz: Ja bym sprowadził ułamek do wspólnego mianownika, rozszerzył przez trzy wyciągnął pierwiastek trzeciego stopnia i tak zostawił

jc: z² + 2z + 1/27 = 0, (z+1)² = 1 − 1/27 = 26/27, z = −1 ± √26/27 x =− (1 + √26/27)^1/3 − (1 − √26/27)^1/3