Przestrzenie afiniczne Benny: Przeczytałem sobie wykład, były tam jakieś własności, ale nie bardzo ogarniam o co chodzi z tymi przestrzeniami/podprzestrzeniami afinicznymi. 1) Udowodnić, że Y={(x₀, x₁, ..., x_n)∊Rⁿ⁺¹: x₀+x₁+...+x_n=1} jest podprzestrzenią afiniczną w Rⁿ⁺¹. Mam przedstawić x₀ za pomocą x₁, ..., x_n i sprawdzić wymiar?

jc: Rⁿ⁺¹ jest przestrzenią liniową. Zbiór U złożony z roziœzan równania x₀ + x₁ + x₂ + ... + x_n = 0 jest n wymiarową podprzestrzenią Rⁿ⁺¹. Rⁿ⁺¹ jest przestrzenią afiniczną wymiaru n+1. Niech P = (1,0,0, ..., 0,0). Pozdbiór K ⊂ Rⁿ⁺¹ złożony z punktów postaci P+v, gdzie v ∊ U, jest podprzestrzenią afiniczną wymiaru n przestrzeni afinicznej Rⁿ⁺¹ (należy jeszcze sprawdzić, że A−B ∊ U dla dowolnych A, B ∊ K, ale to jest oczywiste. OGÓLNIE. Zbiór roziązań układu jednorodnego tworzy podprzestrzeń liniową (ale też afiniczną), a zbiór rozwiązań układu niejednorodnego tworzy podprzestrzeń afiniczną. TO można potraktować jako definicję i nie przejmoawać się innymi definicjami.

Benny: Jakoś mało z tego łapie, chyba zbyt ogólnie.

jc: Może taki obrazek: R³ jest przestrzenią liniową. R³ posiada podprzestrzenie 0, 1, 2, 3 wymiarowe. Np.dwuwymiarową podprzestrzenią jest każada płaszczyzna przechodząca przez 0. R³ jest przestrzenią afiniczną. Oznacza to, że każdej parze punktów możesz przypisać wektor z pewnej przestrzeni (wiemy z jakiej, z R³). Dwa, każdy punkt możemy przesunąć o wektor. Płaszczyzna w R³, nie przechodząca przez zero, nie jest podprzestrzenią liniową R³. Taką płaszczyznę nazywamy poprzestrzenią aliniczną R³.

jc: Jednorodny układ równań − układ równań, który ma zera po prawej stronie. Rozwiązania tworzą podprzestrzeń liniową. Niejednorodny układ równań − już nie ma zer. Rozwiązania tworzą podprzestrzeń afiniczną. Wisz jak można opisać rozwiązania układu niejednorodnego? Do dowolnego rozwiązania układu niejednorodnego (czyli jakiegoś punktu) dodajesz ogólne rozwiązanie układu jednorodnego (czyli wektory z pewnej podprzestrzeni). Nic nie stracisz patrząc w ten sposób (no, chyba że przejdzesz do wymiaru ∞).

Benny: To jak to będzie wyglądało w tym zadaniu?

jc: Rozwiązania równania x₀+x₁+ +x_n=1 możemy uzyskać biorąc dowolne x₁, x₂, ... , x_n i wyliczjąc x₀ = 1 − x₁ −x₂ − ... − x_n. O tym, co to jest przestrzeń i podprzestrzeń afiniczna przeczytałem w Wikipedii i podzieliłem się spostrzeżeniami. W skrócie: podprzeprzestrzeń afiniczna to przesunięta podprzestrzeń liniowa (o zero również). Jaką definicję podprzestrzeni afinicznej masz w swojej książce?

Benny: Z wykładu mam tak: Uporządkowana trójkę (X, V, +), gdzie X − dowolny dany zbiór, V − przestrzeń wektorowa, + − działanie zewnętrzne +: X x V → X nazywamy przestrzenią afiniczną, jeśli: 1)∀x∊X x+0'=x (0'∊V) 2)∀x,y∊X ∃! v∊V x+v=y 3)∀x∊X ∀u,v∊V (x+u)+v=x+(u+v) Niech (X, X^→, +) − przestrzeń afiniczna, Y⊂X, Y≠∅ Jeśli istnieje podprzestrzeń wektorowa Y^→ przestrzeni wektorowej X^→ taka, że: 1)∀x,y∊Y (xy)^→∊Y^→ 2)∀x∊Y ∀v∊Y^→ x+v∊Y to uporządkowana trójkę (Y, Y^→, +) nazywamy podprzestrzenią afiniczną przestrzeni X.

jc: No to próbujmy po kolei. X to właśnie przestrzeń afiniczna. Wszystkie takie definicje podobnie wyglądaną. Najpierw to jakieś trójki, czwórki, ..., a na koniec i tak pierwszy element − który jest zbiorem nazywa się tak, jak każe definicja). X = Rⁿ⁺¹ V = Rⁿ⁺¹ przestrzeń wektorowa x=(x₀,x₁,...,x_n) ∊ X, v=(v₁,v₂,...,v_n) ∊ V, x + v = (a₀+v₀, a₁ + v₁, ..., a_n+v_n) i sprawdzasz (1) ,(2), (3). Punkt drugi definiuje działanie x−y. Faktycznie x−y = (x₀−y₀, x₁−y₁,...,x_n−y_n). podprzestrzeń (myślę, że Y^→ powinno być podprzestrzenią V, a nie jakiegoś abstrakcyjnego X^→. Oznaczmy Y^→lierą U, będzie prościej. y = (y₀,y₁,...y_n) ∊ Y ⊂ X, y ∊ Y ⇔ y₀ + y₁ + + y_n = 1. u ∊ U ⇔ u₀+u₁+...+u_n = 0 (1) Pokazujesz, że y−z ∊ U dla y,z ∊ Y (2) Pokazujesz, że y+u ∊ Y dla y∊Y i u ∊ U Pozmieniałem litery, aby było ładniej. −−−−−−−−− W szkole wytrwale przypomina się różnicę pomiędzy przestrznią afiniczną i wektorową pisząc raz (1,3), a w innym miejscu [5,7]. ... a potem wszedzie studenci widzą (1,2,3).

Benny: y=(y₀, ₁, ..., y_n) z=(z₀, z₁, ..., z_n) y,z∊Y y₀+y₁+...+y_n=1 z₀+z₁+...+z_n=1 (y₀−z₀)+(y₁−z₁)+...+(y_n−z_n)=0 u₀+u₁+...+u_n=0 y−z=u∊U y+u=(y₀+u₀, y₁+u₁, ..., y_n+u_n) (y₀+u₀+(y₁+u₁)+...+(y_n+u_n)=1 y+u∊Y W ogóle nie widzę tutaj sensu tego.

Benny:

jc: Bo to nie ma sensu Ujmę to jeszcze krócej. Pomyśl o R³. Podprzestrznie liniowe R³: {0}, proste przechodzące przez zero d=1, płaszczyzny przechodzące przez zero, całe R³. Wymiary odpowiednio 0,1,2,3. R³ jest przestrzenią afiniczną. Podprzestrzenie afiniczne R³: punkty, proste, płaszczyzny, całe R³. Wymiary odpowiednio 0,1,2,3. To są po prostu przesunięte podprzestrzenie liniowe. Nie przejmuj się dowodami.

Benny: To jest jedno z zadań na ćwiczenia