Trygonometria Krzysiek: Udowodnić, że dla dowolnej liczby α zachodzi nierówność

	√2
2sin α + 2cos α ≥ 21−
	2

	√2
1−		to jest wykładnik potęgi
	2

Przemysław: Z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną: 2^sinx+2^cosx≥2*√2^sinx*2^cosx 2^sinx+2^cosx≥2^{1+(sinx+cosx/2)} trzeba teraz pokazać, że: sinx+cosx≥−√2 no to spróbujmy: Hipoteza: sinx+cosx<−√2 obie strony ujemne, podnoszę do kwadratu sin²x+cos²x+2sinxcosx>2 2sinxcosx>1 sin(2x)>1 sprzeczność, bo sinus przyjmuje wartości z [−1,1]

Przemysław: Jeszcze tak napiszę, dla kompletności: Skoro wiemy, że sinx+cosx≥−√2 to

	sinx+cosx		√2
1+		≥1−
	2		2

2^x jest monotoniczne, rosnące, więc otrzymujemy: 2^{1+(sinx+cosx)/2}≥2^1−√2/2

jc: Funkcja t → 2^t jest wypukła. (2^s + 2^c)/2 ≥ 2^(s+c)/2 2^s + 2^c ≥ 2^{1 + (s+c)/2} s = sin a, c = cos a ⇒ s+c ≥ − √2 (= dla a = π + π/4) dlatego 2^{sin a} + 2^{cos a} ≥ 2^{1 − 1/√2}

Przemysław: Jensen?

jc: Czy połowę wiedziałeś wcześniej. Wypukłość x →2^x plus Twoja nierówność. 2^{sin a} + 2^{cos a} ≥ 2^{1 + (sin a + cos a)/2} ≥ 2^{1 − 1/√2}

Przemysław: "Czy połowę wiedziałeś wcześniej." − niestety nie rozumiem. Z tym Jensenem to chodziło mi, że wypukłość => nierówność z 2. liniki 17:10 U mnie chyba jest dobrze, ale Twoje rozwiązanie fajne

jc: Zwykła wypukłość, choć wystarczy w sensie Jensena (patrzymy tylko na środek).

jc: Po prostu kiedy pisałem, dopisałeś nierówność sin a + cos a ≥ − √2, czyli drugą połowę rozwiązania.

Przemysław: W sensie, że wartość w środku przedziału leży pod średnią wartości z brzegów, <=> sieczna leży nad wykresem? Nie wiem, co to wypukłość w sensie Jensena, tak mi się tylko z nierównością jego nazwiska skojarzyło. Dziękuję!

jc: Przemysław, nierówność pomiędzy średnimi też wynika z wypukłości. a,b >0

	a+b		ln a + ln b		a+b
ln		≥		,		≥ √ab
	2		2		2

I odwrotnie, wypukłość logarytmu wynika z nierówności pomiędzy średnimi. −−− Dopiero teraz zauważyłem, że w czasie, kiedy ja pisałem, umieściłeś całe rozwiązanie, wcześniej zobaczyłem tylko drugą część (i przypisałem autorowi wpisu). Stąd nieporozumienie.

jc: Dodam, Twoje rozwiązanie podoba mi się bardziej od mojego

	ra + rb
r >0,		≥ r(a+b)/2 (z nierówności pomiędzy średnimi)
	2

Przemysław: