Forma trzyliniowa Benny: Sprawdzić czy odwzorowanie f:R³xR³xR³→R takie, że f(u, v, w)=u₁v₂w₃−u₁v₃w₂+u₂v₃w₁−u₂v₁w₃+u₃v₁w₂−u₃v₂w₁ gdzie: u=(u₁, u₂, u₃), v=(v₁, v₂, v₃), w=(w₁, w₂, w₃) jest formą trzyliniową antysymetryczną. Z wykładów znalazłem tylko dla form dwuliniowych, że to jest A=−A^T, a jak to będzie dla trzech?

jc: u, v, w ∊ R³ warunki: f( αu, v, w) = α f(u,v,w) f(u + u', v, w) = f(u,v,w) + f(u', v,w) oznaczają, że f jest liniowe ze względu na pierwszy argument. Jesli tak będzie również dla 2 drugiego i trzeciego argumentu, to będziemy mieli przekształcenie 3−liniowe (nazwy forma używamy, bo wartości leżą w R). Jeśli f(u,u,v) = f(u,v,u) = f(v,u,u) = 0, to powiemy, że forma jest antysymetryczna. −−−−−− Wyznacznik jest jedyną formą n−liniową antysymetryczną określoną na (Rⁿ )ⁿ, taką że f(e₁, e₂, ..., e_n) = 1 (e₁, e₂, ... , e_n − standardowa baza Rⁿ).

Benny: Skąd to się bierze, że ta wartość ma być zerem i to drugie z tym wyznacznikiem?

jc: Warunek równoważny z warunkiem: f(u,v,w) = − f(v,u,w) plus pozostałe przypadki. Wyznacznik ma wspomniane własności. Te własności wystarczają. Wykonaj rachunek dla n = 2.

Benny: Nie bardzo wiem o jaki rachunek chodzi. f(e₁, e₂)? I co to ma być?

jc: f( a e₁ + b e₂, c e₁ + d e₂) = ... skorzystaj z 2−liniowości, antysymetrycznośći, wynik wyraź przez f(e₁, e₂). Możesz na koniec przyjąć, że f(e₁, e₂) = 1.

Benny: f(e₁, e₁) oraz f(e₂, e₂) czym będą?

jc: f(e₁,e₁) = 0, f(e₂,e₂) = 0 bo forma jest antysymetryczna. Ogólnie f(v,v) = 0. Wywnioskuj stąd, że f(u,w) = − f(w,u). Jesli f(u,w)=− f(w, u), to podstawiając w=u, otrzymujemy f(u,u) = − f(u,u). A stąd f(u,u) = 0.

Benny: No to korzystając z tego dostaniemy ad−bc, ale jeszcze nie rozumiem, gdzie tego mogę użyć.

jc: W zadaniu masz sprawdzić, czy f( αu, v, w) = α f(u,v,w) f(u + u', v, w) = f(u,v,w) + f(u', v,w) f(u,u,v) = 0 f(u,v,v) = 0 Na pewno się uda, bo Twoje f jest wyznacznikiem!

jc: Na marginesie. Pytasz, do czego ... może się przydać. Choćby do dowodu, że wyznacznik iloczynu macierzy, to iloczyn wyznaczników.

Benny: Jak mamy w R² to wiem jak narysować macierz, bo a_ij=współczynnik przy x_iy_j, ale nie mam pojęcia jak będzie dla 3 zmiennych

jc: Nie piszesz żadnej macierzy. Sprwdzasz własności! −−− Fizycy faktycznie piszą ε_ijk i mówią, że mają tensor zupełnie antysymetryczny. Ale nie zawracaj sobie tym głowy.

Benny: Czyli do takiego odwzorowania raczej nie powinno być polecenia, aby zapisać tę formę macierzowo?

jc: Jak dokładnie brzmiało polecenie? −−−− Notacja fizyków: f(u,v,w) = ∑_{i,j,k ∊{1,2,3}} ε_{i j k} u_i v_j w_k

Benny: Nie było polecania, ale było do f(x, y)=... no i na ćwiczenia robiliśmy tak, że a_ij=współczynnik przy x_iy_j i zastanawiam się jak by to było np. dla f(x, y, z)

jc: Tutaj miałbyś a _{i j k} = współczynnik przy u_i v_j w_k.

Benny: Macierz trzy−wymiarowa?

jc: Informatycy by powiedzieli tablica 3−wymiarowa.

Benny: Ok, więc z takim zadaniem na algebrze raczej się nie spotkam?

jc: Przecież Twoje zadanie − pokazać, że wyznacznik 3x3 jest antysymetryczną formą 3−liniową − jest zadaniem z algebry.

Benny: Jasne, ale chodziło mi o to czy do takiego przykładu mogłoby być takie polecenie tzn. aby zapisać to macierzowo.

jc: Nie wiem https://pl.wikipedia.org/wiki/Symbol_Leviego-Civity

Benny: Jeśli mam daną macierz formy dwuliniowej w bazie standardowej i mam znaleźć formę kwadratową skojarzoną z formą dwuliniową to będzie to wyglądało tak? (macierz 3x3) f(x₁, x₂, x₃)= =a₁₁x₁²+a₁₂x₁x₂+a₁₃x₁x₃+a₂₁x₂x₁+a₂₂x₂²+ +a₂₃x₂x₃+a₃₁x₃x₁+a₃₂x₃x₂+a₃₃x₃²

Benny:

jc: tak zakładamy, że a_{i j} = a_{j i}