indukcja Łukasz: udowodnij indukcyjnie, że 1/2+1/4+...+1/2ⁿ<1 dla każdego n naturalnego

Łukasz: Pomóżcie. Kiedyś widziałem ładny, króciutki dowód indukcyjny tej nierówności, ale teraz ciężko mi sobie go przypomnieć

Mariusz:

1	1   1−   2n
2	1   1−   2

Lewa strona

	1
1−
	2n

Prawa strona 1

jc: 1/2 + 1/4 + ... + 1/2ⁿ = 1 − 1/2ⁿ < 1 Równosć dowodzimy indukcyjnie.

Łukasz: niestety nie chodziło mi o takie dowody jak znajdę tamtem dowód to mogę się nim podzielić, bo był naprawdę ładny

Łukasz: Już mam:

1		1		1
	+		+...+		<1 −założenie indukcyjne
2		4		2n

1		1		1		1
	+		+...+		<1 /*
2		4		2n		2

1		1		1		1		1		1
	(		+		+...+		)<		/ +
2		2		4		2n		2		2

1		1		1
	+		+...+		<1
2		4		2n+1

Łukasz: Moim zdaniem bardzo ładny dowód, bez korzystania ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. I bez udowadniania równości, jak zaproponował jc.

Łukasz: Ale może tylko ja się tym zachwycam

Łukasz: wypowiedzcie się, co myślicie o tym dowodzie w porównaniu z tymi wyżej. Niby najprostszy a nikt na niego nie wpadł...

jc: Śliczny dowód

jc: Powtórz rozumowanie w przypadku takiej nierówności: 1/3+1/3² + 1/3³ + ... + 1/3ⁿ < 1/2

Łukasz: Tutaj tak samo pójdzie, tylko, że mnożymy stronami przez jedną trzecią i później dodajemy jedną trzecią stronami

jc:

Krzysiek:

1		1		1		1
	+		+		+ ... +		< 1
2		4		8		2n

n = 1

1
	< 1
2

n = k

1		1		1		1
	+		+		+ ... +		< 1
2		4		8		2k

n = k+1

1		1		1		1		1
	+		+		+ ... +		+		< 1
2		4		8		2k		2k+1

	1
1 −		< 1
	2k+1

	1
−		< 0
	2k+1

jc: Krzysiek, to na pewno nie jest rozwiązanie

Łukasz: Właśnie