Całki Marta: Jak obliczyć takie całki? ∫1/√x² + y² dy Gdzie liczymy właśnie po y. ∫2√10 + 2x + x² dx Tu po x.

ICSP: 1. Podstawienie y = xsh(t) 2. Podstawienie x + 1 = 3sh(t)

Benny: 1)

y
	=t, później t=coshz
x

Benny: Racja źle w głowie sobie wykonałem operacje, będzie sinhz jak podpowiada ICSP

Marta: Niby rozumiem ale nie do końca. W 1 podstawiłam za t=y/x i wyszła mi taka całka: ∫1/√1+t² dt = arcsinht + C Takie rozwiązanie jest prawidłowe czy jeszcze trzeba coś zrobić

ICSP: co to jest arcsinh(t) ?

jc: Na pewno miało być arsinh (też bym nie wiedział)

Marta: ∊A nie przepraszam, jednak to z arcsinht jest źle. Tak więc podstawiłam za t=y/x i wyszła mi całka ∫1/√1+t² i teraz nie wiem co dalej

ICSP: Pewnie tak. Ewentualnie można się odwołać do definicji.

ICSP:

	y		y
= arsinh(t) + C = arsinh(		) + C = ln(		+ √(y/x)2 + 1) + C
	x		x

gibs: A jak to zrobić tym sposobem y= xsh(t)? Mógłby ktoś dla mnie to rozpisać żebym zrozumiał?

ICSP:

	1
∫		dy = | y = xsh(t) , dy = xch(t) dt| =
	√x2 + y2

	xch(t)dt		xch(t)
= ∫		= ∫		dt = ∫ dt = t + C =
	√x2(sh2(t) + 1)		xch(t)

	y
arsinh(		)+C
	x

= ln(y + √x² + y²) + C₁ Oczywiście wobec równości x² = (−x)² możemy przyjać x > 0

gibs: Ok, dzięki. Teraz rozumiem

Mariusz: gibs Masz dwie możliwości 1 Prowadzisz sieczną do krzywej y²=ax²+bx+c i przeprowadzasz rozumowanie podane u Fichtenholza 2 Rozwijasz pomysł amerykańców którzy rysują trójkąt prostokątny W trójkącie prostokątnym w którym boki oznaczone są po amerykańsku (czyli tak aby z twierdzenia Pitagorasa otrzymać interesującą nas postać kanoniczną trójmianu pod pierwiastkiem) prowadzimy dwusieczne kątów ostrych i obliczamy stosunki przyprostokątnych w trójkątach prostokątnych powstałych po podzieleniu kąta

Mariusz: Jak znasz rosyjski to przeczytaj sobie rozumowanie Fichtenhoza mariuszm2011.republika.pl/Eulergeom.pdf Ja urodziłem się za późno aby nauczyć się rosyjskiego w szkole a mamuśka nie chciała mnie go nauczyć chociaż mogła

Marta: A ja nadal nie rozumiem jak zrobić ten przykład 2... Chciałam sama je zrobić ale siedzę nad nim ponad godzinę i nic nie mogę zdziałać.. Głównie nie wiem jak zastosować te podstawienie y= x+1 bo szczerze pierwszy raz spotykam się z tego typu całkami.

Marta: Znaczy x + 1 = 3sh(t) oczywiście. To chciałam napisać

Benny: Zauważ, że 10+2x+x²=(x+1)²+9

jc: 10 + 2x + x² = (x+1)² + 9 Nie musisz drugi raz liczyć całki. Korzystasz z rozwiązania pierwszgo zadania. ∫ = ln(x+1 + √(x+1)²+ 3²) = ln(x+1 + √x²+2x+10)

Mariusz: Marta znasz rosyjski ? Jak tak to poczytaj http://mariuszm2011.republika.pl/Eulergeom.pdf Jeśli nie to spróbuj rozwiązać to zadanie z dwusiecznymi kątów ostrych trójkąta prostokątnego a pomoże ci znaleźć odpowiednie podstawienie bez tych area cudów

ICSP: jc druga całka wygląda inaczej niż pierwsza. Pierwiastek nie znajduje się w mianowniku tylko w liczniku.

jc: ICSP, faktycznie, ale i tak postępujemy podobnie.

	x √x2 + a2		a2		dx
∫ √x2+a2 dx =		+		∫
	2		2		√x2+a2

Benny: Czy wzory na podwójne kąty działają też na hiperbolicznych?

ICSP: sh(2x) = 2sh(x)ch(z) ch(2x) = ch²(x) + sh²(x)

Mariusz:

	BC
Oblicz stosunek		mając do dyspozycji twierdzenie sinusów i cosinusów
	BD

(z twierdzenia cosinusów wystarczy jego przypadek szczególny) Sami widzicie że rysowanie mi nie wychodzi Próbowałem konstrukcyjnie wyznaczyć tę dwusieczną ale tutaj mi nie wychodzi w geogebrze wychodziło to lepiej

Mariusz: AB=3 CB=t