bijekcja i funkcja odwrotna xx: Sprawdź, czy funkcja jest iniekcją, surjekcją i bijekcją − jeśli funkcja jest wzajemnie jednoznaczna podaj wzór (o ile możliwe) fuinkcji odwrotnej:

	⎧	x−1 x≤1
a) f(x) =	⎩	√x−1 x>1

b) f(x) = e^1₂x3

xx: podbijam

jc: Czy mamy się domyślić, że dziedzina = R oraz przeciwdziedzina = R ? Bez tego mamy tylko wzory, nie funkcje.

oo ok: a) Z zapisu dla f(x) ona jest zdefiniowana tak : f :R→R ; bo dziedzina D_f : x ≤ 1 lub x>1 ⇔ x∊(−∞,1] lub x∊(1,+∞) ⇔x∊(−∞, 1] U (1,+∞) ⇔x∊R stąd D_f =R. a przeciw dziedzina również jest R: można zrobić wykres funkcji f : I sposób: geometryczne dla x∊(−∞,1] mamy wykres prosta y=x−1 ; dla x∊(1,+∞) mamy wykres funkcja f= √x−1 to jest przesunięty w wykres funkcji y=√x. − funkcja jest iniekcja(RÓŻNOWARTOŚCIOWA), jak widać z rysunku, bo dwa różne argumenty odpowiadają dwa różne wartości funkcji, geometryczne oznacza ,że dowolna prosta pozioma przecina wykres funkcji w jednej punkcie = dla dowolnej wartości funkcji mamy tylko jeden argument odpowiadający tej wartości funkcji. − funkcja jest surjekcją ( "NA ") , jak widać z rysunku jego przeciw dziedzina jest R, bo rzut wykresu funkcji na osi X jest cały osi Y y to jest R (UWAGA: mają wykres funkcji rzut tego wykresu na osi X to daje nam dziedzina funkcji.) _funkcja jest bijekcja ( WZAJEMNIE JEDNOZNACZNA), bo jest różnowartościowa i na. JESLI FUNKCJA JEST BIJEKCJA TO MA FUNKCJA ODWROTNA. wykres funkcja odwrotna jest linia symetryczna do niej z względu na prostej y=x. z rysunku widać, że punkt (0,x) z wykresu f ma punkt symetryczne ze względu na y=x punktu (x,0), który należy do funkcji odwrotnej do f tzn. f⁻¹ również punkt symetryczne (y,0) z względu na prostej y=x jest punktu (y,0) resumując aby otrzymać wzór funkcji odwrotnej do f w wzorach danych dla f musimy zamienić roli: x e y tzn. x zamienimy na y. w tym sposób otrzymamy wzór na f⁻¹ y nazywamy g stąd; dla y≤1 mamy x=y−1 a więc y=x+1. tu dla x≤1 ( bo y≤1 to x≤0 z rysunku dla f⁻¹ dla y>1 mamy x=√y−1 , ponieważ jeśli y>1 z rysunku x>0 dla rysunku f⁻¹, a więc możemy podnosić do kwadratu obie strony z x=√y−1 otrzymamy x² = y−1 ⇔y=x²+1. na końcu: funkcja odwrotna do f jest g , taki, że: { x+1 ; dla x≤0 g(x) = { x²+1 dla x>0 II SPOSÓB: ANALITYCZNE. SKORZYSTAMY RÓWNIEŻ Z DEFINCJI. FUNKCJA ROŻNOWARTOŚCIOWA : 1−1 ( INIEKCJA) , FUNKCJA "Na"(SURIEKCJA), FUNKCJA Wzajemna jednoznaczna(BIJEKCJA) Y FUNKCJA ODWROTNA. czy f jest iniekcja = INJEKCJA tzn. f jest różnowartościowa ? musi być spełniony: że rożne argumenty odpowiadają różny wartości funkcji tzn. że jeśli dwie wartości funkcji są równe to ich argumenty są równe. skorzystamy z ostatniego zdania: jeśli f(a)= f(b) ⇒a=b sprawdzamy czy jest spełniony ; dla f: Ponieważ f ma dwa rożne określenia dla x≤1 tzn. x∊(−∞, 1] oraz dla x>1 tzn. x∊ (1,+∞); mamy: i) Jeśli a, b ∊(−∞,1] : tu mamy f(a)=a−1 oraz f(b)= b−1 stąd; f(a)=f(b) ⇒a−1=b−1⇒a=b ; a wiec dla ∊(−∞,1] jest spełniony warunek różnowartościowości. ii) Jeśli a, b ∊ (1,+∞): tu mamy f(a)=√a−1 oraz f(b)=√b−1 stąd: f(a)=f(b) ⇒√a−1=√b−1 ⇒a−1 = b−1 ⇒a=b , a więc dla x.1 tzn. x∊(1,+∞) jest spełniony warunek różnowartościowości. itd.

xx: Dziękuję za a) − jeśli chodzi o b to nie jest iniekcją i nie jest surjekcją, a więc i nie jest bijekcją −> funkcja odwrotna nie istnieje, proszę o potwierdzenie

Jerzy: A dlaczego uważasz,że nie istnieje funkcja odwrotna ?

Jerzy: b) funkcja jest injekcją i surjekcją, a więc jest bijekcją. funkcją odwrotną jest funkcja: f⁻¹(x) = ³√2lnx

xx: A dlaczego jest surjekcją (funkcją "na")?− co do iniekcji się zgadzam, to mój oczywisty błąd Czy jeśli nie mamy określonego zbioru do którego funkcja odwzorowuje dziedzinę to przyjmujemy za ten zbiór jej zbiór wartości?

Jerzy: ta funkcja przekształca: R → [0,+∞)

Jerzy: i faktycznie, z formalnego punktu widzenia, powinno to być zapisane w treści zadania

xx: No właśnie i co wtedy, jeśli nie jest zapisane?− bo jeśli jest zapisane tak jak Ty to podałeś to jest surjekcją, ale można sobie wyobrazić przekształcenie R w zbiór również R

Jerzy: Wtedy nie jest surjekcją

xx: Dzięki − właśnie też mi się tak wydaje, choć formułowanie tych niektórych zadań pozostawia wiele do życzenia