Równanie różniczkowe II rzędu Tomek: Jak obliczyć te równanie: d²x/dt²=a²*x ?

Jerzy: Scałkuj obustronnie ( dwukrotnie )

Tomek: d²x/dt²=a²*x dx/dt=a²*x*t+C1 x(t)=1/2a²*x*t²+c1*t+C2 dobrze ? bo w książce mam wyniki z liczbą e.

jc: a ≠0, x = C₁ e^at + C₂ e^−at a = 0, x = C₁ t + C₂

yyhy: x'−a²x=0 wielomian charakterystyczy λ²−a²=0 ⇔(λ−a)(λ+a)=0 λ=a lub λ=−a zatem x(t)=Ae^−at+Be^at ,A,B −stałe

Mariusz: Jurek nie tak t jest tutaj zmienną Pytanie czy a jest stałe Jeśli jest stałe podstawiasz y=e^λt Jeśli a zależy od x możesz obniżyć rząd podstawieniem u(x)=x' Jeśli a zależy bezpośrednio od t to możesz próbować szukać całki szczególnej i z jej użyciem obniżyć rząd albo całkować szeregami Sprowadzanie do równania Riccatiego albo usuwanie wyrazu z x' gdy się takowy pojawi jest na ogół mało skuteczne

Jerzy: Sknociłem

Tomek: a jest stała nie zależna od x i t, jest to długość, a więc: d²x/dt²−a²x=0 r²−a²=0 delta=−4*1*−a² delta=4a² pierw z delty = 2a r1=−a r2=a Xj=C1*e⁻ax + C2*e^ax Xp=0 => X=C1*e⁻ax + C2*e^ax a V=Dx/Dt=−c1*e⁻ax *a + C2 *e^ax*a Dobrze ?

jc: Raczej nie. U Ciebie x = x(t). Przypadek a = 0 jest oczywisty. Załóżmy więc, że a ≠ 0. I sposób. Sprawdzasz, że x = e^at oraz x = e^−at są rozwiązaniami II sposób. (d/dt)[ (dx/dt)² − a² x² ] =0, a więc różnica w nawiasie jest stała. Rowiązujesz równanie pierwszego rzędu (dx/dt)² − a² x² = C. I sposób jest łatwiejszy.