liczby zespolone Leszek: Witajcie! Mam problem z takim trywialnym zadankiem: Rozwiąż w liczbach zespolonych równanie: z⁴ = 8(−1 + i√3). Oczywiście ja bym poszedł po najmniejszej linii oporu i napisał: z = −2^{3/4 4}√−1 + i√3 z = −i2^{3/4 4}√−1 + i√3 z = i2^{3/4 4}√−1 + i√3 z = 2^{3/4 4}√−1 + i√3, bo to widać, ale prowadzący rzekł, że tak nie można... Podsunął pomysł, by to zrobić za pomocą postaci trygonometrycznej liczb zespolonych. Jakaś pomoc?

Mila: z⁴=8*(−1+i√3) z=⁴√8*(−1+i√3) |8*(−1+i√3)|=8*√1²+√3²=8*2=16

	1
cosφ=−
	2

	√3
sinφ=
	2

	2π
φ=
	3

	2π   +2kπ 3		2π   +2kπ 3
zk=4√16*(cos		+i sin		), gdzie k=0,1,2,3
	4		4

	π		π
z0=2*(cos		+i sin		)=√3+i
	6		6

Licz dalej

Leszek:

	a		b
Mógłbym prosić o wzory na cosφ i sinφ? W teorii to kolejno		oraz		, tyle, że
	|z|		|z|

czym tu jest a oraz b? Proszę o zweryfikowanie mej myśli: Trzeba patrzeć na liczby po wymnożeniu przez 8? Tzn

	−8		8√3
cosφ=		oraz sinφ=		? Oczywiście dalej skrócone pasuje, acz wolę się upewnić.
	16		16

Dalej oczywiście już sobie poradzę, ślicznie dziękuję.

jc:

	−1 + i√3
z4 = 16 *
	2

Drugi czynnik, to liczba o module 1 i argumencie 120^o, 120^o / 4 = 30^o

	√3 + i
Zatem jednym z pierwiastków jest z = 2 *		= √3 + i
	2

Wszystkie pierwiastki otrzymujemy mnożąc kolejno przez ±1, ±i: √3 + i, −√3 − i, −1 + i√3, 1 − i√3

jc:

	−1 + i√3
z4 = 16 *
	2

Drugi czynnik, to liczba o module 1 i argumencie 120^o, 120^o / 4 = 30^o

	√3 + i
Zatem jednym z pierwiastków jest z = 2 *		= √3 + i
	2

Wszystkie pierwiastki otrzymujemy mnożąc kolejno przez ±1, ±i: √3 + i, −√3 − i, −1 + i√3, 1 − i√3

Mila: Nie musisz mnożyć przez 8 do wyznaczenia argumentu. ( ale można)