topologia, zbiór domknięty matma: Udowodnij, ze zbiór jest domknięty w przestrzeni metrycznej (R², d₂) gdzie d2 to metryka euklidesowa. {(x,y): x³+y²−xy−1≤(x+y)³+x²+y, x³+y²+2x≥y⁵+5x} oraz że zbiór {(x,y): |x³−2y²−5xy+x|≤xy−y²+x+1} jest otwarty. (na zajęciach w podobnym zadaniu korzystaliśmy z ciągłości funkcji i przeciwobrazów, niestety w tych dwóch przypadkach coś mi nie wychodzi)

jc: f jest ciągła ⇔ przeciwobraz każdego zbioru otwatego (domkniętego) jest otwarty (domknięty) Pierwszy (drugi) zbiór jest przeciwobrazem ćwiartki (półprostej) domkniętej. Co tu może nie wyjść? Sam zapisz w tej postaci: (1) { f(x,y) ≥ 0 { g(x,y) ≥ 0 (2) h(x,y) ≥ 0

matma: mógłbyś to bardziej rozpisać? albo powiedzieć co robię źle: definuję dwie funckje f: (x,y)−> x3+y2−xy−1−(x+y)3−x2−y oraz g: (x,y) −> x3+y2+2x−y5−5x obie są ciągłe, więc przeciwobraz f⁻¹ ((−∞,0]) jest domknięty i g⁻¹([0,∞)) jest domknięty, ale tu mam iloczyn tych zbiorów, a to już nie jest domknięte (bo chyba tw mówi ze suma zbiorów domkniętych jest domknięta)

jc: (1) Definiujesz jedną funkcję R² →R², (x,y) →(f(x,y), g(x,y)) u(x,y) = (f(x,y), g(x,y)) Twój zbiór to: u⁻¹ ( [o,∞) x [0,∞) )

matma: można prosić jeszcze o jakieś wytłumaczenie w stylu "dla humanistów"? bo na zajęciach było tylko jedno takie zadanie i niestety mało kto z grupy to rozumie − a niedługo mamy kolosa