geometria Benny: Jak się bada wzajemne położenie płaszczyzn? Z wykładu mam tylko tyle: "Wystarczy zbadać rozwiązanie układu równań ogólnych tych płaszczyzn"

Mila: 1) znajdź część wspólną dwóch płaszczyzn: ( to będzie równanie krawędziowe prostej) x+y−5z=0 x−y+z−2=0 Płaszczyzny nie są równoległe { [1,1,−5] nie jest równoległy do wektora [1,−1,1]} x+y=5z x−y=−z+2 −−−−−−−−−− dodaję stronami 2x=4z+2 x=2z+1 y=3z−1 z=1z+0 z przyjmujemy jako parametr t⇒równanie parametryczne prostej (krawędzi przecięcia) x=1+2t y=−1+3t z=0+1t =========== możemy zapisać równanie kierunkowe tej prostej: prosta ta przechodzi przez punkt P=(1,−1,0) [2,3,1] wektor kierunkowy prostej

x−1		y+1		z−0
	=		=
2		3		1

Można to zrobić inaczej. Jeśli chcesz , a nie wiesz jak, to mogę zrobić. 2) Znajdź punkt przecięcia płaszczyzn 2x+2y+z−7=0 2x−y+3z−3=0 4x+5y−2z−12=0 odp.P=(1,2,1)

Benny: Ok to pierwsze sobie jeszcze przeanalizuje, dziękuje Jak popatrzyłem na to drugie to w sumie można wywnioskować, jeśli wyznacznik macierzy jest różny od 0 to płaszczyzny się przecinają.

Mila: 3) znajdź równanie prostej leżącej na obu płaszczyznach ( krawędź przecięcia) π₁: 2x+3y−16z−7=0 π₂: 3x+y−17z=0 drugi sposób: [2,3,−16] wektor normalny płaszczyzny π₁ [3,1,−17] wektor normalny płaszczyzny π₂ wektory nie są równoległe k^→=[2,3,−16] x [3,1,−17] wektor kierunkowy prostej i , j , k 2,3,−16 3,1,−17 −−−−−−−−wyznacznik: k^→=[−35,−14,−7] wektor jest równoległy do wektora [5,2,1] Znajdź punkt należący do obu płaszczyzn, przyjmij z=0 Prosta:

x−x0		y−y0		z−z0
	=		=
5		2		1

Benny: Poprzeglądam to dobrze, poczytam jeszcze notatki i jutro będę dopytywał.

Mila:

Benny: Ok zastanawia mnie właśnie ta macierz dzięki której dostajemy wektor normalny. Skąd się to w ogóle bierze tzn. ta macierz?

prosta: wektor normalny płaszczyzny Ax+By+Cz+D=0 ma współrzędne: [A,B,C]

Benny: Jasne, ale chodzi mi dlaczego to z macierzą działa i skąd tam te wersory?

prosta: to sposób liczenia iloczynu wektorowego http://www.math.edu.pl/iloczyn-wektorowy

prosta: 1. szukana prosta leży na płaszczyźnie π₁ , stąd jest prostopadła do wektora normalnego tej płaszczyzny 2. analogicznie z π₂ 3. iloczyn wektorowy jest wektorem prostopadłym do danych wektorów

Benny: Nadal nie o to mi chodzi Jak jest wyprowadzony ten wzór z macierzą?

Mila: https://pl.wikipedia.org/wiki/Iloczyn_wektorowy

Benny: Widziałem to, nie rozumiem skąd biorą się te wersory i j k i po co one są.

Mila: Mam zrobić wykład?

Benny: Jeśli nie ma innego wyjścia to bym poprosił.

Mila: Wersorem osi nazywamy wektor długości (normie) 1 o kierunku i zwrocie zgodnym z pewną dodatnią półosią prostokątnego układu współrzędnych. Dla osi OX, OY, OZ oznacza się je tradycyjnie na kilka sposobów: między innymi: symbolami i, j, k i,j,k −wersory

Mila: Wektor OP^→[a_x,a_y,a_z] Kolorem zaznaczyłam rzuty OP^→na osie. a_x=2i, a_y=2j a_z=2k Wektor OP^→ możemy zapisać: OP^→=2i+2j+2k=[2,2,2]

prosta: http://home.agh.edu.pl/~gora/algebra/Wyklad12.pdf def.12.3

Mila: i x i =0 i x j=k, j x i=−k j x k =i, k x j=−i k x i=j, i x k=−j wracając do przykładu z 21:39 n₁^→=[2,3,−16] n₂^→=[ 3,1,−17] n₁=2i+3j−16k n₂^→=3i+j−17k (2i+3j−16k)x(3i+j−17k)= mnożymy =2i x3i + 2i x j +2i x (−17)k+ +3j x 3i+ 3j x j +3j x (−17)k + −16k x 3i −16k x j +(−16)k x (−17)k= =6*0 +2k+34j+ −9k+3*0−51i+ −48j+16i+0= =−35i−14j−7k

Mila: Prosta ma bardziej aktualną wiedzę, to poprawi moje ewentualne nieścisłości.

Benny: Chyba powoli łapie. Te minusy się biorą z orientacji? Zastanawia mnie jeszcze, dlaczego akurat iloczyn ten daje wektor prostopadły?

Mila: Z definicji iloczynu wektorowego . To powinieneś mieć w LO na fizyce.

kyrtap: z tego co wiem iloczyn wektorowy i skalarny powinien być wyłożony przed płaszczyznami

Metis: Mam na przed sobą skrypt AGH 1255 Wstęp do analizy matematycznej, elementy algebry i geometrii analitycznej. i tutaj przedstawione jest podobne zadanie, choć ja się na tym nie znam (jeszcze) . 1: http://i.imgur.com/75OzNMO.png 2: http://i.imgur.com/IFKSh1Q.png Może znajdziesz coś o tym w innych skryptach, dużo jest w nich teorii.

Metis: Chyba to jednak niezbyt podobne zadania Ale warto poszukać w tych skryptach

Benny: Ok, dziękuje bardzo Dziś zapewne kolejna dawka pytań

Benny: Znaczy się że ten wektor jest prostopadły to jest aksjomat czy się to jakoś dowodzi?

jc: Definicja: wektory, których iloczyn skalarny jest zerem nazywamy wektorami prostopadłymi.

Mila: −35i−14j−7k=[−35,−14,−7] [−35,−14,−7] o [2,3,−16]=−70−42+112=0 wartość iloczynu skalarnego [−35,−14,−7] o [2,3,−16]=√35²+14²+7²*√2²+3²+16² *cosα=0⇔cosα=0⇔α=90⁰ to samo możesz zrobić z drugim wektorem, a także ogólnie wyprowadzic.

Benny: I wszystko jasne, jeszcze raz dziękuje

Mila:

Mila: Wyjaśnienie iloczynów dwóch wektorów: http://www.if.pw.edu.pl/~anadam/WykLadyFO/FoWWW_02.html

Benny: