Udowodnij ze 6latek : Udowodnij ze dla każdego n∊C a) n⁵−n jest podzielne przez 5 b) n⁷−n jest podzielne przez7 mam wskazowke do a) Rzzloz na czynniki i zbadaj ich podzielność przez 5 dla liczb n postaci 5k, 5k+1 ,5k+2.5k+3 5k+4 a) rozkład będzie taki n⁵−n⇔n(n⁴−1)⇔n(n−1)(n+1)(n²+1) A dalej nie wiem

Janek191: a) n⁵ − n = n*(n⁴ − 1) = n*(n² − 1)*(n² + 1) = n*(n −1)*(n+1)*( n² + 1) 1) n = 5 k Wtedy 5 k*( 5 k −1)*(5 k + 1)*(25 k² + 1) dzieli się przez 5 itd.

6latek : Dzien dobry Janek191 Nie bardzo to rozumiem dlaczego to ma sie dzielic przez 5 No bo wezmy np. k=1 5*4*6*26= no dzieli sie przez 5 Ale to ma być ogolnie

6latek : WEzmy postac 5k+1 (5k+1)*5k*(5k+2)*((5k+1)²+1) i teraz to mam wymnozyc ?

6latek : n=5k+2 mamy tak (5k+2)*(5k+1)*(5k+3)*[(5k+2)²+1]

6latek : Chyba już wiem dlaczego w ostatnim przykładzie w ostatnim czynniku będę miał tak 25k²+10k+4+1= 25k²+10k+5= = 5(5k²+2k+1) a to dzieli się przez 5

6latek : Mam jeszcze takie pytanie jeśli za n wstawie 5k+4 dostane (5k+4)(5k+3)(5k+5)*[(5k+4)²+1] czy należy to zapisac tak (5k+4)(5k+3)*5(k+1)*[(5k+4)²+1] i jest to podzielne przez 5

jc: Policz: [ (n+1)⁵ − (n+1) ] − [n⁵ − n] [ (n+1)⁷ − (n+1) ] − [n⁷ − n] Wyciągnij wnioski Wiem, że to trochę inaczej (bez rozkładu na czynniki), ale co z tego?

S.O.S: Można tak: n⁵−n = n(n⁴−1) = n(n−1)(n+1)(n²+1) n²+1=(n²−4)+5 = (n−2)(n+2)+5 to mamy po wymnożeniu (n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)+5n(n−1)(n+1)= 5t+5w= 5(t+w) , t,w∊C iloczyn 5 kolejnych liczb całkowitych dzieli się przez 5