Suma, wzór w innej postaci. Wyjaśnienie Czowitek: Mam sume ∑k² obliczyć, tzn podać jej wzór. Ogólnie... od k=0 do n. Mnie wychodzi (−1 +2ⁿ)... jednak odpowiedź wskazuje na∑k²= (2ⁿ⁺¹−1) stąd moje pytanie: skoro ciąg 1,2,4,8..., 2ⁿ to mamy: a1= 1 i q =2 ... i ze wzoru na Sn wychodzi trochę inaczej? Ktoś umie to wytłumaczyć?

kochanus (z komorki): A czy (−1 + x) to nie jest to samo co (x−1)

kochanus (z komorki): Ehhhh Ci studenci

Czowitek: tylko tu mam 2ⁿ⁺¹ ... to jest 2ⁿ *2 skąd ta 2?

Benny:

n(n+1)(2n+1)
	tyle wynosi ta suma
6

Czowitek: Jezu chodziło mi o 2^k

Czowitek: Ale to nie istotne, istotne jest dla mnie to dlaczego przy zamianie pojawia się 2ⁿ⁺¹−1, a nie po prostu 2ⁿ−1

Przemysław: Wychodzi np. przez zaburzenie sumy ∑k³ widziałem też sumowanie tego geometrycznie (w "Kwadracie") No i pewnie jest mnóstwo innych metod

Przemysław: Ops, to przepraszam, jak chodzi o 2^k

Przemysław: Może dlatego, że od 0 do n jest n+1 elementów?

Czowitek: no ale z jakiego wzoru korzystam? ... bo generalnie chodzi mi o wiele innych przykładów zalóżmy że zadanie jest oblicz sume n wyrazów dla ciągu 1,2,4,8..... wtedy a1=1 q=2 ... i jak z tej postaci uzyskać 2ⁿ⁺¹−1 ?

Mariusz: Δk²=(k+1)²−k²=2k+1 Δ²k²=2(k+1)+1−(2k+1)=2 k+k²

1		1
	k2+		k3
2		3

1		1
	(n+1)n+		(n+1)n(n−1)
2		3

	1		1		1
(n+1)n(		+		n−		)
	2		3		3

	1		1
(n+1)n(		n+		)
	3		6

	1
=		(2n+1)(n+1)n
	6

Mariusz: ∑2^k 2ⁿ⁺¹−1 Możesz skorzystać albo z rachunku różnicowego albo z sumy skończonego ciągu geometrycznego

Czowitek: sumy skończonego ciągu geometrycznego Mariusz, chcę właśnie... tylko korzystając z tego... wychodzi mi inny wzór nie wiem skąd bierze się 2ⁿ⁺¹ ...

	1−2n
ze wzoru mam Sn= 1 *		i to nie wychodzi 2n+1
	1−2

Mila: Skąd masz taki wynik: 2ⁿ⁺¹−1 ?

jc: 1+2+4+8+16 = 32 − 1 Ogólnie 1 + 2 + 4 + ... + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ − 1

Mila: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+of+%282^%28k-1%29+for+k%3D1++to+n%29

jc: Mila, w zadaniu jest suma 2^k, k zmienia się od 0 do n. ∑_k=0ⁿ 2^k = 2ⁿ⁺¹ − 1

Mila: Witek No tak, popatrzyłam na ciąg 1,2,3,4,8... i liczyłam sumę n wyrazów Jeżeli masz taki zapis : 1,2,4,8,... 2ⁿ to masz n+1 wyrazów a_k=1*2^k−1 ogólny wyraz ciągu: Liczymy ile jest wyrazów: 2^k−1=2ⁿ k=n+1 liczba wyrazów w podanym ciągu : 1,2,4,8,..., 2ⁿ

	1−2n+1
Sn+1=1*		=2n+1−1
	1−2

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+of+%282^%28k-1%29+for+k%3D1++to+n%2B1%29

Mila: I to nie ma nic wspólnego z ∑k². Trudno się zorientować o co chodzi w tylu komentarzach.

Mila: Dziękuję JC, przeczytałam dokładnie, o co chodzi.

Mila: Wzór na sumę : 1²+2²+3²+4²+,........+n² też masz wyprowadzić?

Przemysław: Jeszcze można tak: ∑ⁿ_k=02^k+2ⁿ⁺¹=2⁰+∑ⁿ⁺¹_k=12^k ∑ⁿ_k=02^k+2ⁿ⁺¹=1+∑ⁿ_k=02^k+1=1+2∑ⁿ_k=02^k 2ⁿ⁺¹−1=∑ⁿ_k=02^k