Udowonij,że obydwa szeregi są zbieżne albo rozbieżne Angela: Niech będzie ciąg (a_n)>0 i zbiór δ(a_n) ciągu (b_n)>0 z cechą ,że c₁>0 , c₂>0 są stałymi i istnieje jedno n_o z liczb naturalnych z n≥n_o tak,że : c₁a_n≤b_n≤c₂a_n . Udowodnij,że szeregi a_n i b_n są obydwa zbieżne albo rozbieżne. Nie mam pojęcia jak się za to zabrać. Dziękuję za pomoc.

wredulus_pospolitus: To nie jest prawda, niech: {a_n} = sin n + 3 c₁ = 1 c₂ = 2 {b_n} = 4 prawdą jest, że: sin n + 3 ≤ 4 ≤ 2sin n + 6 dla n∊N_o a przecież ciąg {a_n} nie jest ani zbieżny ani rozbieżny (ciąg nie posiada granicy ani właściwej ani niewłaściwej)

wredulus_pospolitus: Inny przykład (analogiczny): {a_n} = 1 c₁ = 1 c₂ = 3 {b_n} = sin n + 2 prawdą jest, że: 1 ≤ sin n+2 ≤ 3 a przecież ciąg {b_n} nie posiada granicy (nie jest ani zbieżny ani rozbieżny)

wredulus_pospolitus: brakuje w tym zadaniu informacji, że ∃_{k,m > 0 ; k,m∊No} ∀_{p>k ; r>m} dla których ciągi {a_p} {b_r} są monotoniczne

Angela: hmm musze udowodnic, ze to jest prawda. moge uzyc w tym zadaniu sandwich−theorem, czy to nic nie da?

wredulus_pospolitus: Jeszcze raz napiszę −−− przy tak podanych warunkach NIE JEST to prawda ... ponieważ nie ma nigdzie założenia, że {a_n} i {b_n} są (przynajmniej od 'jakiegoś momentu' ) monotoniczne ... a więc oba kontrprzykłady załatwiają tę hipotezę. Jeżeli przyjmiemy monotoniczność ciągów {a_n} i {b_n} (chociażby dla n ≥ n_o), to wtedy ta hipoteza jest prawdziwa i można ją wykazać. Nie możesz skorzystać z 'ham sandwich theorem' (studiujesz po angielsku? jeżeli nie, to lepiej ucz się polskich nazw czyli: twierdzenie o trzech ciągach) ponieważ lim_n−>∞ c₁*a_n = g₁ ≠ g₂ = lim_n−>∞ c₂*a_n o ile tylko lim_n−>∞ a_n ≠ 0

wredulus_pospolitus: jeżeli założy się monotoniczność ciągów {a_n} i {b_n} to wystarczy skorzystać z odpowiedniego twierdzenia: monotoniczny ciąg {b_n}, który dla n>n_o, gdzie n_o∊N_o jest ograniczony z góry i z dołu przez liczby M i m, jest zbieżny do granicy g takiej że m ≤ g ≤ M

wredulus_pospolitus: oczywiście, samo twierdzenie 'ździebko' inaczej brzmi ... ale Tyś studentka więc na pewno masz je w notatkach.

Angela: tak, ucze sie po angielsku.. okay, dzieki za pomoc

wredulus_pospolitus: jeśli natomiast chodzi o rozbieżność ciągu {b_n}. To bardzo łatwo wykazać, że jest on rozbieżny jeżeli {a_n} będzie rozbieżny (patrz warunek który muszą spełniać wyrazy ciągu {b_n}) ... o ile oczywiście a_n jest MONOTONICZNY

Angela: oki

jc: Przepiszę zadanie: Dla n ≥ n₀, i pewnych c₁, c₂ > 0, mamy 0 ≤ c₁ a₁ ≤ b_n ≤ c₂ a_n. Pokazać, że szereg ∑ a_n jest zbieżny ⇔ ∑ b_n jest zbieżny. Dowód. Nie zmniejszając ogólności możemy założyć, że n₀ = 1. A_n = a₁ +a₂ + ... +a_n, B_n = b₁+b₂ + ... + b_n A₁ ≤ A₂ ≤ A₃ ≤ ... B₁ ≤ B₂ ≤ B₃ ≤ ... Załóżmy, że szereg ∑a_n jest zbieżny, tzn. A_n →A B_n ≤ c₂ A_n ≤ c₂ A. Zatem ciąg B_n oprócz tego, że jest monotoniczny, jest ograniczony, a więc jest zbieżny, tzn. ∑_n jest zbieżny. Druga część podobnie.

wredulus_pospolitus: Tak naprawdę ... cały dowód tego wystarczy oprzeć o: niech ciągi {z_n} i {d_n} będą ciągami rosnącymi: jeżeli ∃_no ∀_n>no z_n < d_n to: a) jeżeli d_n zbieżny to z_n zbieżny b) jeżeli z_n rozbieżny to d_n rozbieżny w przypadku (a) d_n = c₂*a_n ; z_n = b_n w przypadku (b) z_n = c₁*a_n ; d_n = b_n pozostaje jeszcze przypadek, że {a_n} i {b_n} są malejące ... ale to automatycznie daje nam ograniczenie tychże ciągów, ponieważ mamy w zadaniu podane że wyrazy tych ciągów są liczbami dodatnimi, a więc: {a_n} > 0 (a że malejący, więc zbieżny) {b_n} ≥ c₁*a_n > 0 (a że malejący, więc zbieżny)

jc: Zwróć uwagę, że w treści zadania mówi się o szeregach. Dla ciągów, jak zauważyłeś, twierdzenie nie jest prawdziwe.