CIĄGI, CIĄGUNIE Agaaaaaata: 1. Suma trzech początkowych wyrazów malejącego ciągu geometrycznego jest równa 26. Największy wyraz tego ciągu jest równy 18. Wyznacz wzór na sumę n początkowych wyrazów tego ciągu. 2. Wyznacz wzór ogólny ciągu arytmetycznego (an), jeżeli a5=2a3−2 oraz a2+a4+a6=69. 3. Ustal, które wyrazy ciągu (an) danego wzorem an=n²−8n+15 spełniają warunek an+1−an≤0. 4. Suma n początkowych wyrazów ciągu (an) jest równa Sn. Oblicz ak, jeśli: Sn=3n²−7n, k=3. 5. W ciągu arytmetycznym (an) różnica wyrazów siódmego i drugiego wynosi 40, a wyraz jedenasty jest równy 83. Suma ilu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 40 703? 6. Trzy liczby a,b,17, których suma jest równa 36, tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny. Oblicz wartość wyrażenia b²−a². 7. Liczby x+2y+1, 2x+3y+3, 5y−x+7, 9x+7y−2 są kolejnymi początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznacz ten ciąg. 8. Oblicz sumę 2 dla 2+8+14+...+122 9. Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (an) wyraża się wzorem

	5		1
Sn=		N{1−		n}
	2		5

Z góry dziękuję za rozwiązanie

Alky: Więszkość z tych zadań to banały które wystarczy podstawić do wzoru. Weź się może za naukę i chociaż spróbuj to zrobić, a nie wrzucasz jakiś syf i czekasz aż ktos rozwiąże bo Tobie się nie chce. Jak któreś Ci nie wyjdzie albo rzeczywiście nie będziesz rozumiała to chętnie pomogę.

Agaaaaaata: Alky, dzięki za "szczerą" odpowiedź. Skoro są to dla Ciebie banały to czemu nie pomożesz. Wśród 156 zadań z ciągów nie poradziłam sobie właśnie z tymi 9 dlatego wstawiłam je tutaj z myślą, że są na świecie dobrzy ludzie chcący pomóc.

Jerzy: 1) a₁ + a₁*q + a₁*q² = 26 a₁ = 18 g < 1 oblicz: q a_n = a₁*qⁿ⁻¹

Janek191: z.1 a₁ + a₂ + a₃ = 26 a₁ = 18 więc a₁ + ( a₁*q) + (a₁*q²) = 26 18 + 18 q + 18 q² = 26 18 q² + 18 q − 8 = 0 / : 2 9 q² + 9 q − 4 = 0 Δ = 81 − 4*9*(−4) = 81 + 144 = 225 √Δ = 15

	− 9 + 15		1
q =		=
	18		3

zatem

	1 − qn		1 − (13)n		1
Sn = a1*		= 18*		= 27*[1 − (		)n]
	1 − q		1 − 13		3

Janek191: z.3 a_n = n² − 8 n + 15 więc a_n+1 = ( n+1)² − 8*(n+1) + 15 = n² + 2n + 1 − 8 n − 8 + 15 = n² − 6 n + 8 a_n+1 − a_n ≤ 0 więc ( n² − 6 n + 8 ) − ( n² − 8 n + 15 ) ≤ 0 2n − 7 ≤ 0 2 n ≤ 7 więc n = 1 lub n = 2 lub n = 3 Odp. a₁, a₂, a₃ ==============

Janek191: z.4 S_n = 3 n² − 7 n k = 3 a₃ = S₃ − S₂ = ( 3*3² − 7*3) − ( 3*2² − 7*2) = 6 − (−2) = 8

Agaaaaaata: Janek191. Dziękuję bardzo Pozdrawiam

Janek191: z.5 a₇ − a₂ = 40 ⇒ (a₁ + 6 r) − ( a₁ + r) = 40 ⇒ 5 r = 40 ⇒ r = 8 a₁₁ = 83 ⇒ a₁ + 10 r = 83 ⇒ a₁ + 10*8 = 83 ⇒ a₁ = 3 Mamy a₁ = 3 r = 8 więc a_n = a₁ + ( n −1)*r = 3 + (n −1)*8 = 3 + 8 n − 8 = 8 n − 5 zatem S_n = 0,5*(a₁ + a_n)*n = 0,5*( 3 + 8 n − 5)*n = ( 4 n − 1)*n = 4 n² − n zatem 4 n² − n = 40 703 4 n² − n − 40 703 = 0 Δ = 1 − 4*4*( −40 703) = 651 249 √Δ = 807

	1 + 807
n =		= 101
	8

S₁₀₁ = 40 703 ================= spr. a₁ = 3 a₁₀₁ = 803 s₁₀₁ = 0,5*( 3 + 803)*101 = 403*101 =40 703

Janek191: z.6 a, b ,17 − ciąg arytmetyczny, więc 2 b = a + 17 ⇒ a = 2 b − 17 oraz a + b + 17 = 36 czyli mamy (2 b − 17) + b + 17 = 36 3 b = 36 b = 12 a = 2*12 − 17 = 7 zatem b² − a² = 12² − 7² = 144 − 49 = 95 ============================

Janek191: Popraw treść z. 8 i z.9

Agaaaaaata: Zadanie 8. brzmi identycznie jak powyżej zapisałam. odpowiedź to 1302

	5
Zadanie 9. Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wyraża się wzorem Sn=		x
	8

	1
(1−(		)n) . Wyznacz drugi i piąty wyraz tego ciągu.
	5

Janek191: z.8 2 + 8 + 14 + ... + 122 Mamy a₁ = 2 r = 8 − 2 = 6 więc a_n = a₁ + ( n−1)*r = 2 + ( n−1)*6 = 2 + 6 n − 6 = 6 n − 4 więc 6 n − 4 = 122 6 n = 126 / : 6 n = 21 więc S₂₁ = 0,5*(a₁ + a₂₁)*21 = 0,5*( 2 + 122)*21 = 62*21 = 1 302 =================================================

Janek191: z.9

	5		1
Sn =		*[ 1 − (		)n]
	8		5

więc S₂ = a₁ + a₂ = S₁ + a₂ czyli

	5		1		5		1
a2 = S2 − S1 =		*[ 1 −		] −		*[ 1 −		] = ...
	8		25		8		5

oraz

	5		1		5		1
a5 = S5 − S4 =		*[ 1 − (		)5] −		*[1 − (		)4] = ...
	8		5		8		5

Agaaaaaata: Dziękuję bardzo

Janek191: W z. 7 podano 4 wyrazy ciągu arytmetycznego ?

Janek191: z.7 Zapisz układ: a₂ − a₁ = a₃ − a₂ a₃ − a₂ = a₄ − a₃

Janek191: z.2 Korzystamy z wzoru a_n = a₁ +( n−1)*r a₅ = 2 a₃ − 2 ⇒ a₁ + 4 r = 2*(a₁ +2 r) − 2 ⇒4 r = a₁ + 4 r − 2 ⇒ a₁ = 2 a₂ + a₄ + a₆ = 69 ⇒ a₁ + r + a₁ +3 r + a₁ + 5 r = 69 3 a₁ + 9 r = 69 3*2 + 9 r = 69 9 r = 63 r = 7 więc a_n = 2 + ( n −1)*7 = 2 + 7 n − 7 = 7 n − 5 a_n = 7 n − 5 =========

Tinka: Giągi Oblicz sume 2 a)3/4+3/2+9/4+...51/4 b) 1+√2/2+1/2+...√2/32 c) 2−6+18+...+1458

getin: a) 3/4 + 6/4 + 9/4 + 12/4 + ... + 51/4

	3
a1 =
	4

	3
r =
	4

	51
an =
	4

a_n = a₁ + (n−1)*r

51		3		3
	=		+ (n−1)*
4		4		4

51		3		3		3
	=		+		n −
4		4		4		4

51		3
	=		n
4		4

51 = 3n n = 17

	a1+an
Sn =		*n
	2

	a1+a17
S17 =		*17
	2

	3   51   + 4   4		54   4		27		459
S17 =		*17 =		*17 =		*17 =
	2		2		4		4

b) a₁ = 1

	√2
q =
	2

	√2
an =
	32

a_n = a₁*qⁿ⁻¹

√2		√2
	= 1*(		)n−1
32		2

21/2		21/2
	= (		)n−1
25		21

2^{1/2 − 5} = (2^{1/2 − 1})ⁿ⁻¹ 2^{1/2 − 10/2} = (2^{1/2 − 2/2})ⁿ⁻¹ 2^−9/2 = (2^−1/2)ⁿ⁻¹

	9		1
−		= −		(n−1)
	2		2

	9		1		1
−		= −		n+
	2		2		2

1		1		9
	n =		+
2		2		2

n = 10

	a1*(1−qn)
Sn =
	1−q

	a1*(1−q)10
S10 =
	1−q

	√2   1−( )10   2
S10 =
	√2   1−   2

c) a₁ = 2 a₂ = −6 q = −3 a_n = 1458 a_n = a₁ * qⁿ⁻¹ 1458 = 2 * (−3)ⁿ⁻¹

1458
	= (−3)n−1
2

729 = (−3)ⁿ⁻¹ (−3)⁶ = (−3)ⁿ⁻¹ 6 = n−1 n = 7

	a1*(1−qn)
Sn =
	1−q

	a1*(1−q7)
S7 =
	1−q

	2*[1−(−3)7]		2*[1−(−2187)]		2*(1+2187)
S7 =		=		=		= 1094
	1−(−3)		4		4