zadanie trudne Rafal44: Na półokręgu, którego średnicą jest odcinek AB, obrano punkt S (różny od punktów A i B), którego rzutem prostokątnym na prostą AB jest punkt C. Następnie narysowano okrąg styczny do prostych SC i AB i mający jeden punkt wspólny z łukiem AS. Wykaż, że trójkąt, którego wierzchołkami są punkty S, B i punkt styczności narysowanego okręgu z prostą AB, jest równoramienny.

Janek191:

Rafal44: up

jc: Oznacz punkt styczności małego okręgu z odcinkiem AC literą Q. Mamy BQ² = 2 R BC = BS², gdzie R jest promieniem dużego okręgu. Aby to pokazać wystarczy kilka razy skorzystać z Tw. Pitagorasa. Dorysuj odcinek łączący środek dużego okręgu z punktem styczności małego okręgu z dużym. Odcinek ten przechodzi przez środek małego okręgu.

Rafal44: Dziękuję za pomoc, aczkolwiek to, to ja wiedziałem na początku. Potrzebuję obliczeń, bo mój umysł jest w jakimś stanie zaćmienia. PS. Zadanie nie jest w ramach pracy domowej itd.

reindeer: dlaczego odcinek łączący środek dużego okręgu z punktem styczności małego okręgu z dużym przechodzi przez środek małego okręgu? Twierdzenie Pitagorasa wystarczy zastosować w trójkątach SCQ SCB i SQB czy jeszcze gdzieś?

wredulus_pospolitus: co do pierwszego pytania 1. jeżeli dwa okręgi są styczne do siebie (wewnętrznie lub zewnętrznie) w punkcie P, to znaczy że ... oba okręgi są styczne w punkcie P DO TEJ SAMEJ PROSTEJ. 2. i to właśnie powoduje, że środki okręgów będą leżały na ten samej prostej (która jest prostopadła do stycznej) przechodzącej przez punkt P.

reindeer: Dzięki, teraz to jest jasne. A z tym Pitagorasem to te trzy trójkąty wystarczą czy coś gdzieś dorysować? Bo nie wychodzi mi nic...

Mila: ∡ASB=90^o 1)

	d+R
W ΔSCB: cosβ=
	|BS|

	|BS|
W ΔABS: cosβ=
	2R

	d+R		BS
stąd :		=		⇔|BS|2=2R(d+R)
	|BS|		2R

2) |BD|=(r+d)+R wΔDOP: |OP|=R−r (R−r)²=r²+(r+d)² (r+d)²=R²−2rR+r²−r² (r+d)²=R²−2Rr |BD|²=(r+d)²+2R(r+d)+R²⇔ |BD|²=R²−2Rr+2Rr+2Rd+R² |BD|²=2R²+2Rd |BD|²=2R(R+d)=|BS|² |BD|=|BS| ΔBDS− Δrównoramienny ==================