Ekstrema lokalne Benny: Korzystając z definicji zbadać, czy podane funkcje mają ekstrema lokalne we wskazanych punktach: a) f(x, y)=5−(x⁶+y⁴), (x₀, y₀)=(0, 0); f(x₀, y₀)=5 x⁶+y⁴≥0 −x⁶−y⁴≤0 5−x⁶−y⁴≤5 f(x, y)≤f(x₀, y₀) Czy to wystarcza? b) f(x, y)=x²−2y² f(x₀, y₀)=0 Tutaj już nie jest tak łatwo jak wyżej. Mogę prosić o wskazówkę?

Saizou : wg mnie jest okej b) weźmy punkt (1,1) to mamy f(1,1)=1−2=−2 weźmy punkt (1,0)to mamy f(1,0)=1−0=1 f(1,0)>f(0,0) PS. Podejrzewam, że (x₀,y₀)=(0,0)

Benny: Tak, zapomniałem dopisać. Właśnie nie byłem przekonany czy mogę po prostu sobie wybrać jakiś punkt i pokazać to co Ty.

Saizou : wg definicji powinieneś pokazać że istnieje takie otoczenie w którym funkcja ma ekstremum w punkcie (0,0) Ja wskazałem otoczenie (dokładniej punkt), który nie jest sprzeczny definicji

jc: (a) Funkcja ma jedno ekstremum lokalne: maksimum w punkcie (0,0). Mamy bowiem f(x,y) = 5 − (x⁶ + y⁴) ≤ 5 = f(0,0). (b) funkcja f(x,y) = x²−2y² w żadnym punkcie nie ma ekstremum lokalnego. t > 0. f(x,y) < f(x ± t, y) f(x,y) > f(x,y ± t) Znaki przy t wybieramy tak, aby pokrywały się ze znakami x, odpowiednio y. Jeśli x = 0 lub y = 0, wybór znaku t nie ma znaczenia.

Benny: Dzięki Gdzie znajdę jakoś ładnie wytłumaczone, dlaczego warunkiem dostateczny na istnienie ekstremum jest niezerowy wyznacznik? Czytam w Fichtenholz'ie i ciężko.

jc: Masz na myśli wyznacznik z drugich pochodnych cząstkowych? Bada się rozwinięcie w szereg Taylora w punkcie stacjonarnym. Wyrazy stałe nie mają znaczenia, wyrazy liniowe znikają. Załóźmy, że badanym punktem jest (0,0). W pobliżu tego punktu f = Ax² + 2Bxy + Cy² + wyrazy wyższych rzędów. Dla małych x,y dalsze wyrazy nie mają znaczenia (ale czasami mają! wtedy nie mamy odpowiedzi). Badamy formę kwadratową: Ax² + 2Bxy + Cy². A, B, C to pochodne cząstkowe w badanym punkcie. Mamy kilka sytuacji typu: x²+y² (minimum), −x²−y² (maksimum), x²−y² (siodło) x² (nie wiadomo*), 0 (też nie wiadomo) (*) np. x² + y⁴ (maksimum), x²−y⁴ (siodło) Spójrz do Algebry na formy kwadratowe (badanie, to jak sprowadzanie funkcji kwadratowej do postaci kanonicznej)

Benny: Dlaczego akurat w szereg Taylora?

jc: Jeden wymiar. Załóżmy, że w zerze pochodna się zeruje. W zerze może być ekstremum. f(x) = 3 + 5 x² + 9x³ + .. Dla x=1/100, x³ jest 100 razy mniejsze od x², więc nie ma znaczenia, a jeśli ma, może wziąć jeszcze mniejsze x. Funkcja w pobliżu zera równa jest praktycznie 3 + 5 x², więc mamy minimum. Czasem jednak to nie wystarcza np. f(x) = 2 + 5 x³ + 7x⁴ + ... Tu nie ma ekstremum, ale odrzucając potęgi x³, x⁴, ... nie zobaczymy tego f(x) = 7 + x⁴, też nie zobaczymy, ale mamy oczywiście minimum. Bardzo nie lubię takich metod Nie wiem, gdzie takie rzeczy są opisane.

Benny: Poszukam jakiejś innej książki może jakoś bardziej zrozumiale dla mnie będzie opisane, dzięki

Metis: Siemka Benny Mam pytanie Ten twój znajomy dostał się w II rekrutacji na matematykę ?

Benny: Cześć. Nie bardzo wiem o co pytasz. Przypomnisz?

Metis: Pisałeś ostatnio, gdy pytałem na czym polega II rekrutacja na uczelnie o tym, że twój znajomy dostał się tak na AGH kojarzysz?

Benny: Ok przypominam sobie, ale chyba trochę inaczej to było. Jest u mnie na kierunku osoba z drugiej rekrutacji

Metis: A czyli dostał się na matematykę z drugiej rekrutacji ?

Benny: Tak i chyba *dostała