rozzaczarowana LadyMakbet: Hej, słuchajcie wiem że to forum zadankowe ale też wiem ze skoro sami matematycy to powiedzą coś mądrego napewno. Pisałam teraz mature z bio i chem. Moim marzeniem jest medycyna....Nie wiem czy słyszeliscie o tegoroczne maturze z chemii....kompletna porażka...świat mi się załamał...serio nie wiem co robic, gdzie iśc teraz jak tylko medycyna mnie pociąga! ehhh.....juz wiem że sie nie poddam i zamierzam poprawiac w przysżłym roku wyniki tyle że.....chcę dołożyć matematyke rozszerzoną ....hmm teraz na koniec 3 kl miałam 4 z podt...nawet dobrze czuje sie z mateamtyką....powiedzcie mi czy wystarczy mi czasu jak zacznę od połowy lipca ? Wicie chemie i bio mam w miare opanowaną bo naprawde dużo se uczyłam....wiec zostanie mi dalej szlifować...a teraz mam zamiar wybrać jakiś słabszy kierunek i dalej się uczyć do matury.....hmmm..ale najważniejsze czy dam rade z tym rozszerzeniem.....myślicie że da się tak samodzielnie, nie mysle narazie o korkach ..ale jakieś ksiązki dużo zdań moze jakies online polecacie ?

Omikron: Przerób dwie książki Andrzeja Kiełbasy. Są tam zadania proste, trudniejsze, a nawet na wyższym niż maturalnym poziomie. Zadania są nietypowe, czyli idealnie na nowe matury. Jak się przyłożysz to zdążysz przerobić, zadań jest ponad 1000. To czy Ci się uda zależy od Twoich matematycznych zdolności, ale myślę że jak zaczniesz przygotowanie od razu to sobie poradzisz. Powodzenia

zef: Przeglądaj to forum i staraj się pomagać innym. Dużo osób podaje tutaj nietypowe zadania i dzięki temu sama możesz się dużo nauczyć.

Jack: polecam byl nauczyc sie nierownosci pomiedzy srednimi. znacznie skracaja czas w dowodach algebraicznych średnia kwadratowa ≥ średnia arytmetyczna ≥ średnia geometryczna ≥ średnia harmoniczna. Te 3 pierwsze srednie moga sie przydac, a sa naprawde proste do nauczenia.

zef: Jack mógłbyś mi przybliżyć o co chodzi z tymi średnimi ?

jc: Na studia przyjmują patrząc na punkty. Jeśli chemia była trudna, to inni też mieli podobny kłopot, więc nie ma sie czy przejmować, chyba że stawiałaś na chemię. Pewną konkurencje stanową kandydaci sprzed lat. Gdyby egamin był za łatwy, wszyscy zdobyliby maksa i zdecydowałyby inne przedmioty. Na medycynie wytrzymałem semestr, a byłem piąty na liście. Ważne jest, aby potem się utrzymać, co już kilka dni temu ktoś na forum napisał.

Jack: Średnia kwadratowa n liczb to pierwiastek z kwadratów tych liczb przez ich ilość

	a12+a22+...+an2
Śr. kwadratowa = √
	n

zatem na przykladzie, srednia kwadratowa z liczb a i b to

	a2+b2
√
	2

Średnia arytmetyczna n liczb (chyba każdy wie, ale napiszę) to suma tych liczb przez ich ilość.

	a1+a2+...+an
Śr. arytmetyczna =
	n

dla liczb a i b :

	a+b
śr. arytmetyczna =
	2

średnia geometryczna z n liczb to pierwiastek n−tego stopbnia iloczynu liczb ⁿ√a₁*a₂*..*a_n zatem dla liczb a i b : ²√a*b no i nierownosci ktore miedzy nimi zachodza(nie bede wyprowadzal) średnia kwadratowa ≥ średnia arytmetyczna ≥ średnia geometryczna zadanie z tegorocznej matury x² + y² = 2 wykaż, że x+y ≤ 2 Wykażemy to na podstawie nierówności między średnią kwadratową i arytmetyczną, Nasze liczby to x i y. zatem zapiszmy jak wygladalaby ta nierownosc dla tych liczb.

	x2+y2		x+y
√		≥
	2		2

skoro x²+y² = 2 to podstawiamy.

	2		x+y
√		≥
	2		2

	x+y
1 ≥		// * 2
	2

2 ≥ x+y czyli x+y ≤ 2 c.n.w.

kk: ale nie na najbardziej obleganych kierunkach na medycynie z tego co wiem jest i po 50 odob na miejsce. Zawsze bez wzgledu na poziom matur znajdzie sie ze sto osob ktorzy mieli maksa

zef: Jack dziękuję !

Jack: polecam rowniez wlasnosci wielomianu symetrycznego (jak to Metis taki wielomian nazywa ) a wlasciwie nwm czy to sa wlasnosci, ale chyba kazdy wielomian sy,etryczny mozna schowac do wzoru skroconego mnozenia wielomian symetryczny no to po prostu te same wspolczynniki tylko przy roznych potegach iksa. np. 1x⁴ + 2x³ + 3x² + 2x + 1 albo 1x⁴ + 6x³ + 11x² + 6x + 1 itd.. widzimy po prostu ze jest symetryczny chociaz to bardziej jako ciekawostka niz typowa nierownosc chociaz gdyby sie pojawilo takie polecenie : Wykaż, że nierówność jest prawdziwa, dla każdej liczby rzeczywistej x: 1x⁴ + 6x³ + 11x² + 6x + 1 ≥ 0 (oczywiscie przeksztalcajac nierownosc rownowaznie, otrzymuje: ) no to korzystamy z tej "wlasnosci" (ze ja tak nazwe) i laczymy te wyrazy ktore maja takie same wspolczynniki czyli 1x⁴ + 1 + 6x³ + 6x + 11x² ≥ 0 x⁴+1 + 6(x³+x) + 11x² ≥ 0 wyłączmy np. x² przed nawias, gdyż stoi przy 11.

	1		1
x2[(x2 +		) + 6(x +		) + 11] ≥ 0
	x2		x

	1
zauważmy, że x2 +		możemy "schować" do wzoru skróconego mnożenia, zatem mamy
	x2

	1		1		1		1
x2 +		= (x +		)2 − 2 * x *		= (x+		)2 − 2
	x2		x		x		x

	1		1
x2[(x +		)2 − 2 + 6(x +		) + 11] ≥ 0
	x		x

	1
podstawmy k = x +
	x

x²[(k² − 2 + 6k + 11)] ≥ 0 x²[(k² − 6k + 9)] ≥ 0 x²[(k−3)²] ≥ 0 zatem otrzymujemy x²(k−3)² ≥ 0

	1
wracamy z podstawieniem, że k = x+
	x

	1
x2(x+		− 3)2 ≥ 0
	x

korzystajac ze wzoru a²*b² = (a*b)²

	1
[x(x+		−3)]2 ≥ 0
	x

[x²+1−3x]² ≥ 0 zatem (x²−3x+1)² ≥ 0 c.n.w. (i oczywiscie komentarz...)

jc: Dodam nierówność dla iloczynu skalarnego: ( UV )² ≤ U² V² Np. dla U=(1,1,1), V=(a,b,c) mamy (a+b+c)² ≤ 3 (a²+b²+c²) lub inaczej (kilka wpisów wyżej)

a+b+c		a2+b2+c2
	≤ √
3		3

Kacper: Napisz do mnie to coś podpowiem 8959267

Przemysław: Tak a propo wielomianu symetrycznego, to spotkałem się z zupełnie innym znaczeniem tej nazwy: mamy wielomian wielu zmiennych. Możemy dowolnie pozamieniać ze sobą zmienne i dostaniemy taki sam wielomian. Np. w tej definicji: W(x,y,z)=x+y+z jest symetryczny V(x,y,z)=x+3y+z nie jest symetryczny Takie znaczenie tej nazwy można znaleźć: https://pl.wikipedia.org/wiki/Wielomian_symetryczny http://www.math.us.edu.pl/pgladki/faq/node121.html http://mathworld.wolfram.com/SymmetricPolynomial.html https://reference.wolfram.com/language/tutorial/SymmetricPolynomials.html http://mathcircle.berkeley.edu/BMC3/SymPol.pdf

jc: W wikipedii można znaleźć "równanie symetryczne".

Przemysław: Dziękuję

Mariusz: Przemysław , twoja definicja wielomianu symetrycznego jest poprawna Po powolnej permutacji zmiennych otrzymamy ten sam wielomian

Mariusz: * Po dowolnej ...

Przemysław: Dziękuję za potwierdzenie

Mariusz: Jeśli już wyodrębniać jakieś równanie z równania czwartego stopnia to może lepiej dwukwadratowe Mamy równanie a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀=0

	a3
Podstawiamy x=y−		aby wyzerować wyraz a3x3
	4a4

Otrzymamy wtedy równanie y⁴+b₂y²+b₁y+b₀=0 Jeśli b₁=0 to mamy równanie dwukwadratowe (y²)²+b₂(y²)+b₀=0 Jeśli b₁≠0 to stosujemy rozkład na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych (y²−py+q)(y²+py+r)=y⁴+b₂y²+b₁y+b₀

jc: Mariusz, rozwiąż takie równanie x⁴−8x³+15x²−8x+1=0

papus: x⁴ − 8x³ + 15x² − 8x + 1 = 0 x = 0 nie jest rozwiązaniem równania, zatem dzieląc przez x² otrzymamy równanie postaci

	8		1
x2 − 8x + 15 −		+		= 0
	x		x2

	1		1
(x +		)2 − 8(x +		) + 13 = 0
	x		x

	1
(x +		− 4)2 − 3 = 0
	x

	1		1
(x +		− 4 − √3)(x +		− 4 + √3) = 0
	x		x

jc: Ślicznie