rozne wielomiany Krzysiek: Przedstaw jako roznice kwadratow dwóch wielomianow i rozloz na czynniki stopnia drugiego x⁴+x²y²+y⁴

ICSP: x⁴ + 2x²y² + y⁴ − x²y²

Jack: (x²+y²)² − x²y²

Saizou : x⁴+x²y²+y²=x⁴+2x²y²+y²−x²y²=(x²+y²)²−(xy)²=(x²−xy+y²)(x²+xy+y²)

Krzysiek: czyli będzie dalej (x²+y²)²−x²y²

Krzysiek: I jeszcze tak jak zapisal Saizou x²y²= (xy)² dziekuje wszystkim

Janek191: = (x² + y²)² − ( x y)² = ( x² + y² − x y)*( x² + y² + x y)

Krzysiek: To tego jest podpunkt b) Rozwiaz układ rownan {x²+y²−xy=61 {x⁴+x²y²+y⁴= 1281 To drugie równanie możemy zapisac ze {61*(x²+y²+xy)= 1281 {x²+y²+xy=21 dalej już nie wiem jak mam liczyc

ICSP: x² + y² − xy = 61 x² + y² + xy = 21

Krzysiek: Dostane tak {x²+y²−xy=61 {x²+y²+xy= 21 jeśli odejme 1 równanie od drugiego to −2xy=40 to xy=−20 −20= −2*10 lub (−10)*2 lub (−4)*5 lub (−5)*4 czy dobrze czy jeszcze należy sprawdzić która para liczb spelnia ten układ

ICSP:

	2
20 = 2 * 10 = 5 * 4 = √5 * 4√5 = 30 *		= ...
	3

Chcesz sprawdzać wszystkie pary ?

ICSP: x² + y² = (x+y)² − 2xy Podstawiając u = x + y , v = xy dostaniesz zupełnie nowy układ równań a liczby x, y będą rozwiazaniami równania z² − uz + v = 0

Krzysiek: No nie Odpowiedz jest taka do zadania (teraz spojrzałem (4,−5) (−4,5) (5,−4) (−5,4) Dlaczego tylko te pary ?

Janek191: Może było polecenie − rozwiąż w liczbach całkowitych ...

Krzysiek: Troche mysle nad tym bo dlatego z enie bardzo rozumiem dlaczego tak napisales (post 21:19

Krzysiek: Nie Janek191

Krzysiek: Wczesniej w teorii miałem taka infornacje ze każdy wielomian symetryczny dwóch zmniennych można tak przeksztalcic żeby wystepowaly w nim jedynie sumy ,roznice i iloczyny dwóch tylko wyrazen x+y i xy Tylko dlaczego ICSP tutaj to zastosowal ? Ja dostałem x*y=−20

ICSP: Ponieważ wiem, że układ równań : x + y = u xy = v można bardzo łatwo rozwiazać, więc wygodnie jest sprowadzić do niego twój układ.

Krzysiek: Dobrze . Pozwolisz ze jutro wroce do niego . dzisiaj już czas spac . Dobranoc

jc: Wyjaśnienie dlaczego tylko te pary. Dwie elipsy x²+y²−xy=61 x²+y²+xy= 21 przecinają się w co najwyżej 4 punktach.

Krzysiek: Mój post 21:14 Wyliczylem ze x*y=−20 Teraz tak jak napisał ICSP x²+y²= (x+y)²−2xy No to podstawiamy za x+y=u i x*y=v no to mamy {(x+y)²−2xy−xy=61 {(x+y)²−2xy+xy=21 {(x+y)²−3xy=61 {(x+y)²−xy=21 dalej możemy to zapisac tak {u²−3v=61 {u²−v=21 {u²+60=61 {u²+20= 21 I dobrnalem do sciany

Krzysiek: Gdzies robie blad . Tylko gdzie ? Proszę żeby powoli , bez nerwow , pokazac .

jc: {u²−3v=61 {u²−v=21 Odejmujesz od pierwszego równania drugie równanie {u²−v=21 {−2v = 40 Z drugiego wyliczsz v, wstawiasz do pierwszego i znajdujesz u {v = −20 {u = ±1 Połowę z tego miałeś, za to w dwóch egzemplarzach (dwa równoważne równania dla u).

Krzysiek: czyli v=−20 Podstwiam do 1 równania i mam u²+20=21 u²= 1 to u=1 lub u=−1 Ale teraz musimy wrocic do podstawienia bo x+y=u i x*y=−20 wiec mamy {x+y=1 {x*y=−20 Ten układ spełniają dwie pary liczb (−4,5) lub (5,−4) albo {x+y=−1 {x*y=−20 Ten układ spelniaja dwie pary liczb (−5,4) lub (4,−5) Dziekuje CI bardzo

jc: {x²+y²−xy=61 {x²+y²+xy= 21 Proponuję inne takie zmienne {x= a+b {y= a−b Wtedy {a² + 3b² = 61 {3a² + b² = 21 {a² = 1/4 {b² = 81/4 {a = ± 1/2 {b = ± 9/2 (x,y) = (5,−4),(−4,5),(4,−5),(−5,4)

Krzysiek : Zaraz to sobie przemysle bo tez sposob ciekawy