Ciąg geometryczny Oliwia: Przepraszam w poprzednim zadaniu zrobiłam błąd. Źle napisałam. Proszę o pomoc. Ciąg arytmetyczny (a_n) jest określony wzorem rekurencyjnym. Wyznacz wyraz ogólny ciągu i zbadaj monoteniczność tego ciągu.

	⎧	a1=−3
a)	⎩	an+1=2an dla n≥1

Janek191: a₂ = 2 a₁ = − 6 a₃ = 2 a₂ = − 12 więc ( a_n) jest ciągiem geometrycznym, a nie arytmetycznym.

an+1
	= 2 = q
an

Oliwia: Tak, źle spisałam. Robię zadania z ciągów geometrycznych. na razie zrozumiałam tyle, że q = 2 natomiast a_n= −3 x 2ⁿ⁻¹ i nie wiem co dalej.

Janek191: Oblicz teraz a_n+1 − a_n

Jack: no wzor ogolny geometr. to jest to co napisalaas a_n = − 3 * 2ⁿ⁻¹

Jack: monotonicznosc to to co Janek napisal.

Oliwia: To a_n = −3 x 2ⁿ⁻¹ nie da się bardziej pomnożyć? Odjęłam to a_n+1 − a_n ale wychodzi mi : 2a_n + 3 x 2ⁿ⁻¹ i nie wiem jak to obliczyć..

Janek191: a_n+1 = − 3*2^{(n+1) − 1} = − 3*2ⁿ

Janek191: a_n+1 − a_n = − 3*2ⁿ − ( −3)*2ⁿ⁻¹ = ...

Oliwia: Widzę mój błąd.. a_n+1 − a_n = 2(−3 * 2ⁿ⁺¹) − (−3*2ⁿ⁻¹) ? Tak powinnam to obliczyć?

Oliwia: Nie rozumiem tego twojego obliczenia Janek.

Jack: masz twoje a_n = 2 * 3ⁿ⁻¹ a_n+1 to podstawienie tam gdzie jest n to n+1 zatem a_n+1 = 2 * 3^{n+1 − 1} = 2*3ⁿ a_n+1 − a_n = ...

Oliwia: Czyli gdy liczę w ciągach geometrycznych ⁿ⁻¹ to zawsze pod n podstawiam n+1?

Jack: gdy liczysz n−1 podstawiasz n−1, gdy n+1, to n+1...

Oliwia: Czyli.. a_n+1 − a_n = − 3 * 2ⁿ − (−3 * 2ⁿ⁻¹) = −3 * 2ⁿ + 3* 2 ⁿ⁻¹ = tylko, że dalej nie wiem jak obliczyć.

Janek191: Liczą a_n+1 we wzorze na a_n miejsce n podstawiamy n+1

Oliwia: Ok rozumiem. Czy jednak mogłabym prosić o rozpisanie tego przykładu? Na nim się zasugeruję i będę wiedzieć jak obliczyć inne przykłady.

Jack: a_n+1 − a_n = (−3) *2ⁿ − (−3)*2ⁿ⁻¹ = (−3) * 2ⁿ⁻¹ * 2¹ − (−3)*2ⁿ⁻¹ = = (−3) *2ⁿ⁻¹(2−1) = −3*2ⁿ⁻¹ * 1 = −3*2ⁿ⁻¹

Oliwia: Nie jestem jednak pewna co do tego co napisałam z a_n+1 − a_n ponieważ tam dalej napisałam + 3 * 2ⁿ⁻¹ i nie wiem czy dobrze zamieniłam znaki. Widzę po sobie, że mam braki z poprzednich lat i teraz one wychodzą.

Janek191: Wykonaj to odejmowanie. Wyłącz − 3 przed nawias i wyciągnij wniosek, czy otrzymana liczba jest dodatnia, czy ujemna ? a_n+1 − a_n < 0 ⇒ ciąg (a_n) jest malejący.

Oliwia: Jack myślę i myślę nad tym co napisałeś jednakże nie rozumiem skąd się tam wzięło potem *2ⁿ⁻¹*2¹ − to jest dla mnie z kosmosu. Janku, spróbuję choć mam problemy z obliczeniem tego. Przepraszam was za kłopot.

Janek191: ?

Janek191: ... = − 3*2ⁿ − (−3)*2ⁿ⁻¹ = − 3*( 2ⁿ − 2ⁿ⁻¹) 2ⁿ − 2ⁿ⁻¹ > 0 bo 2ⁿ > 2ⁿ⁻¹ więc − 3*( 2ⁿ − 2ⁿ⁻¹) < 0 − ciąg ( a_n) jest malejący.

Mila: a²*a³=a²⁺³ 2ⁿ⁻¹*2¹=2ⁿ⁻¹⁺¹=2ⁿ

Oliwia: To mój marny koniec.

Oliwia: Już patrzę.

Oliwia: Janek, rozumiem. Dziękuję za rozpisanie. Już to sobie zapisuję. Mila, już rozumiem. No tak, moje braki. Również dziękuję.

Janek191: Jeżeli a_n+1 − a_n > 0 − wtedy ciąg (a_n) jest rosnący

Oliwia: Tak tak. Masz rację, to rozumiem. Gorzej z tymi obliczeniami w ogóle się nie mogę połapać. Choć te, które rozpisałeś są jak najbardziej jasne dla głąba takiego jak ja.

Oliwia: Teraz muszę zastanowić się nad obliczeniem Jacka. Nie do końca go rozumiem, choć Mila mi wyjaśniła część, to kolejna jest dla mnie zagadką.

Janek191: Jack zamiast 2ⁿ napisał 2ⁿ⁻¹*2¹, a to się równa 2^{(n−1) + 1} = 2ⁿ ok

Oliwia: To rozumiem, dalszej części nie rozumiem gdy jest (2−1)

Janek191: Wyłączył przed nawias (−3)* 2{n −1) . W nawiasie zostało 2 = 2¹ z I liczby i 1 z II liczby.

Janek191: Wyłączył (−3)*2ⁿ⁻¹ ...

Oliwia: Teraz wszystko jasne. Dziękuję Wam wszystkim, jesteście niezastąpieni!