oblicz granice ciagu muzykalna109: lim(√2n²−n−√2n²+3n+4 prosze o dokladne obliczenia

Jack: korzystamy wlasciwie ze wzoru a² − b² = (a+b)(a−b)

	a2−b2
zatem a − b =
	a+b

u Ciebie : a − b = (√2n²−n − √2n²+3n+4) chociaz ja to nazywam usuwaniem niewymiernosci... zakladam ze n−>∞ . lim(√2n²−n − √2n²+3n+4) =

	(√2n2−n + √2n2+3n+4)
= lim(√2n2−n − √2n2+3n+4) *
	(√2n2−n + √2n2+3n+4)

	2n2−n − (2n2 + 3n +4)
=lim		=
	(√2n2−n + √2n2+3n+4)

	2n2−n−2n2 − 3n − 4
=lim		=
	(√2n2−n + √2n2+3n+4)

	−4n−4
=lim		=
	(√2n2−n + √2n2+3n+4)

	−4n−4
= lim		=
	(√n2(2−1n) + √n2(2+3n+4n2)

	4   n(−4 − )   n		−4n
= lim		= lim
	|n|*√2 + |n| * √2		2√2|n|

teraz jesli n−>∞ to opuszczeniu wartosci bezwzglednej wyrazenie jest dodatnie. zatem :

	−4n		−4n		−4		−4√2
= lim		= lim		=		=		= − √2
	2√2|n|		2√2n		2√2		4

jc: Jack, czy mógłbyś wyjaśnić, z jakiego prawa skorzystałeś przechodząc z 3 linii od końca do drugiej linii od końca?

Jack:

1
	dąży do zera
n

wiec wyrazenia w nawiasach procz tych stalych liczb daza do zera

	1
1/n jest 0 bo to inaczej
	∞

i jak bedziemy podstawiac liczby to 1/2 = 0,5 1/3 = 0,44 1/4 = 0,25 1/100 = 0,01 im wiekszy mianownik tym liczba blizej zera, wiec gdy mianownik dazy do nieskonczonosci to liczba dazy do zera.

Jack: no i √n² = |n|

jc: Jack, chodzi o to, że gdybyś pominął słowo lim, pomiędzy trzecią a drugą linią od końca nie mielibyśmy równości. Stąd moje pytanie: jakie prawo pozwala Ci na napisanie takiej równości?

Jack: jakie prawo nie pozwala...oto pytanie... dlatego pisze wszedzie lim, bo tam "upraszczam" dzieki temu limesowi.

Jack: uwazasz ze to przejscie jest niepoprawne? : (

jc: Można wątpliwe przejście uzasadnić, ale było by to trudniejsze od poprawnego rozwiązania. Licząc w zaproponowany przez Ciebie sposób mielibyśmy lim (n√1+1/n − n) = lim (n √1 − n) = 0, a jak wiesz, wynik jest inny.

Jack: oczywiscie ze nie. wcale tak nie mozna. i wcale tego sposobu nie proponowalem.

Jack: tutaj co napisales mamy symbol nieoznaczy, wiec tak nie mozna.

Jack: w moim przykladzie mamysume granic, dwie nieskonczonosci dadza nieskonczonosc, za to nieskonczonosc − nieskonczonosc wcale nie jest zerem.

jc: W mianowniku w trzeciej linii od końca piszesz √n²(2−1/n) + ... a w nastepnej linii w tym samym miejscu pojawia się |n| √2 + ... O to przejście pytałem.

Jack: no to nie widze nic zlego w tym przejsciu... lim √n²(2−¹_n) = lim √n²*2 = lim √2 |n|

jc: Powtórzę: Można wątpliwe przejście uzasadnić, ale było by to trudniejsze od poprawnego rozwiązania. 1. Z jakiego ogólnego twierdzenia o granicach korzystasz? 2. Gdzie tak uczą (liceum, szkoła wyższa, jakiś podręcznik) ?

Jack: w liceum...tak zawsze granice liczylem (nikt sie nigdy nie przyczepil...) Zadnego twierdzenia tu nie widze, tylko normalne obliczenie... 1/n dazy do zera, zatem zostaje |n| * √2

ZKS: Często spotykany błąd, liczenie granic w częściach. Tutaj podpunkt II http://prac.im.pwr.wroc.pl/~skoczylas/typowe_bledy_studentow.pdf

Jack: ale to nie jest zadne liczenie w czesciach...

Jack: te przyklady to zupelnie co innego, same symbole nieoznaczone wychodza...

ZKS: Nigdzie tak nie uczą żeby sobie upraszczać w kawałkach granicę (przynajmniej ja nie spotkałem).

Jack: no mozna podzielic po prostu przez n...czy tam n², ale na to samo wyjdzie co wyciaganie przed nawias...

Jack: http://puu.sh/oPBOY/c4ba3b7c01.jpg

Jack: a raczej to : http://puu.sh/oPC0U/0afb5dda6c.jpg

ZKS: Właśnie to co wrzuciłeś jest jak najbardziej poprawne, natomiast Ty w pewnym momencie sobie upraszczasz granicę i napisał o tym jc.

Jack: tego sposobu uczy pewien znany pan od korkow dla studentow (eTrapez)

Jack: przeciez napisalem to samo...

Jack: tylko tam zostawia te pierwiastki, ja je "znikam" zeby mi wiecej miejsca zostalo...ale to przeciez to samo...

Janek191:

	2n2 − n − (2n2+3n+4)
an = √2n2− n − √2n2 +3 n +4 =		=
	√2n2 −n + √2n2+3n+4

	−4 n −4
=		=
	√2n2 − n + √2n2 + 3n + 4

	− 4 − 4n
=
	√2 −1n+√2 +3n+ 4n2

więc

	−4 − 0		−4
lim an =		=		= − √2
	√2 − 0 + √2 + 0 + 0		2√2

n→∞

ZKS: Zrozum tam jest od początku do końca liczona dana granica, a Ty w pewnym momencie obliczasz już granicę dla mianownika to jest

	1		3		4
[n2(2 −		]1/2 + [n2(2 +		+		)]1/2 na n√2 + n√2
	n		n		n2

Janek191: Tak się liczy granice

jc: Jack, w tym przykładzie nikt nie liczy tak, jak proponujesz. Na marginesie, lepiej pisać a(n) = b(n) = ... = u(n) →g zamiast lim a(n) = lim b(n) = ... = lim u(n) = g Przynajmniej jest jasne, gdzie mamy równości, a i na wspomniane wątpliwości nie ma miejsca.

Jack: dobra, bede to rozpisywac jak sie nie podoba...

ZKS: Zrozum, że tak nikt nie uczy liczyć granic zobacz na wpis Janka191. Przekształcenia i doprowadzenie do granicy, którą jesteś całą w stanie policzyć, a nie jak u Ciebie kawałek po kawałku. Tutaj sobie kawałek policzę, bo tutaj wiem ile jest, tutaj zostawię na później.

ZKS: Mistrzu jak chcesz to Ty możesz dzielić dla mnie przez 0, będzie mi pisać " jak się nie podoba ". Człowiek próbuje wytłumaczyć na czym błąd polega, a ten z takim tekstami wyjeżdża.

Jack: nie istnieje granica taka, ktorej nie moglbym "po swojemu" policzyc. normalnie tak nie rozpisuje, jak mam postac

	4n
lim		to w pamieci to licze, bo po co to rozpisywac jak widac, ale tutaj ktos
	√n2+...

chcial zeby rozpisac... Lepiej juz nie komentuje bo kazde slowo moze byc uzyte przeciwko ; x

Janek191: A muzykalna pewnie ogląda konkurs Eurowizji + Australiowizji. ?

jc: Wtrące, oczywiście, jesli lim a_n = g, lim b_n = h, to lim a_n b_n = gh = g lim b_n = lim g b_n, czyli lim a_n b_n = lim g b_n. W ropatrywanym zadaniu istniała tylko jedna z granic. Odpowiednie twierdzenia można by jakoś sformułować. Potem wypadałoby jeszcze udowodnić....

Jack:

	−4n−4
lim		=
	√n2(2−1n) + √n2(2+3n+4n2)

	−4n−4
= lim		=
	√n2 * √(2−1n) + √n2*√(2+3n+4n2)

	4   n(−4 − )   n		−4
= lim		=
	n((√(2−1n) + √(2+3n+4n2))		2√2

?

Jack: A wiecie czym się różni wróbel? Tym, że ma jedno bardziej. i tym optymistycznym akcentem, kończę dyskusję.

jc: A nie można tak, jak Janek. Czy na prawdę musisz napisać −4n−4 = n(−4−4/n) w liczniku (i podobnie w mianowniku), aby licznik i mianownik podzilić przez n?

Metis: ZKS ten link, który podałeś jest genialny

Jack: Nie moge od tka sobie cos podzielic. Ja musze to widziec.Zawsze wyciagam.przed nawias Jak mam 2^x + 2^x+1 to misze te 2^x wyciagnac anizeli odrazu napisac ze to jest 3*2^x Po prostu tak mam ze musze cos zobaczyc... Dlatego sama teoria i tematy podobienstwa trojkatow latwe nie sa bo tego az tka nie widac

Jack: Widzialem juz kiedys ten link...

sin x
	= six = 6...
n

jc: Sposób prosty (a+b+c)/n = a/n + b/n + c/n Sposób z "wyciąganiem" (a+b+c)/n = (n*a/n + n*b/n + n*c/n)/n =[ n (a/n + b/n + c/n) ] /n = a/n + b/n + c/n W czym drugi sposób jest lepszy od pierwszego? Na dodatek uczniowie zawsze wyciągają po lewej stronie, i rachunek (a+b+c)/n = a/n + b/n + c/n jest trudny, za to "łatwy" jest taki rachunek n/(a+b+c) = n/a + n/b + n/c.