Znajdz najmniejsza pare liczb naturalnych n,k spelniajacych warunek
Pawel: Witam, potrzbuje pomocy w nastepujacym zadaniu. Znajdz najmniejsza pare liczb naturalnych n,k
spelniajacych warunek (n+1)(2n+1) = 6k
2.
Proszę o wskazowki
11 maj 21:26
Pawel: odp. to n=337, k = 195
11 maj 21:26
jc: k = n = 1
Czy to bylo źródłem zadania
1
2 + 2
2 + 3
2 + ... + n
2 = k
2 ?
11 maj 22:16
jc: Oj, to drugie nie na temat, ale też ciekawe.
n = 24, k = 70.
11 maj 22:26
jc: Wg komputer pierwsze rozwiązanie > 1, to faktycznie 337, 195.
Następna para to 65521, 37829.
11 maj 22:38
Pawel: nie wiem jakie sa zrodla
od wczoraj nad nim siedze i wymyslilem tylko tyle, ze n=6a+1 v n=6a+5
11 maj 22:40
jc: Spostrzeżenia.
Jeśli u2 − 3 v2 = 1 i v jest liczbą nieparzystą, to
n = (3 v2 − 1)/2 daje rozwiązanie.
(1,0) jest rozwiązniem równania u2 − 3v2 = 1
Jeśli (u,v) jest rozwiązaniem, to (2u+3v, u+2v) też jest.
Mamy więc ciąg (1,0), (2,1), (7,4), (26,15), (97, 56), (337,209)
1 →1
15 →337
209 →65521
itd. równanie ma zatem nieskończenie wiele rozwiązań.
Ale czy tak uzyskamy wszystkie rozwiązania?
11 maj 23:37
jc: Krócej.
(a,b) = (2,1)
(a,b) →(7a+12b, 4a + 7b)
(2,1) →(26,15) →(362, 209) →(5042, 2911) → ...
n = (3b2 − 1)/2, k = ab/2
(a,b) → (n,k)
(2,1) →(1,1)
(26,15) →(337, 195)
(362, 209) →(65521, 37829)
(5042, 2911) →(12710881, 7338631)
...
11 maj 23:52
Pawel: Dziekuje bardzo, na razie nie rozumiem, ale zaraz przestudiuje.
12 maj 21:54
jc:
| 12 + 22 + 32 + ... + n2 | |
| = k2 |
| n | |
13 maj 11:52