Geometria Analityczna - płaszczyzny i punkty mulen: Dane są punkty M (−3.1.=1), A (2,3,1), T (−1,6,1), H(−2,3,8). Sprawdź czy leżą na jednej płaszczyźnie. Jeśli nie to oblicz objętość MATH Następnie wyznacz punkt symetryczny do H względem płaszczyzny zawierającej punkty M,A,T. Potem oblicz odległość H od tej płaszczyzny. Proszę o pomoc.

Jack: Oblicz wektory MA , MT, MH nastepnie macierz ktorego wektory sa wierszami. Jesli leza na jednej to wyznacznik glowny =0

mulen: Tak zrobiłem. Nie wyszło 0 i nie potrafie zrobić dalszej czesci

Jack: wektor MA = [5,2,0] wektor MT = [2,5,0] wektor MH = [1,2,7] Zatem tak wyglada macierz. Oblicz wyznacznik i slrawdz czy wynosi 0

Jack: Aaaa...no to musisz na kogos poczekac bo ja tez jeszcze nie umiem

mulen: tam w punkcie M powinno byc (−3,1,−1)

Jack: https://www.google.pl/url?sa=t&source=web&rct=j&url=http://www.pg.gda.pl/cnm/pracownicy/jolanta.dymkowska/papers/wektory_ilm.pdf&ved=0ahUKEwigwZWLu9DMAhWK1iwKHelRCSIQFggrMAI&usg=AFQjCNF5toQeL7sgo9y7pKbwkAZK75cmZg&sig2=BnfaWAAV-vIba2-iW0v1vA Moze to pomoze...

Jerzy: Wyznacz rownanie plaszczyzny zawierającej dowolne trzy punkty z podanych, potem sprawdż, cz ostatni też do niej należy

Mila: M (−3,1,−1), A (2,3,1), T (−1,6,1), H(−2,3,8) MA^→=[5,2,2] MT^→=[2,5,2] n^→=MA^→ x MT^→ i j k 5 2 2 2 5 2 ====== n^→=[−6,−6,21] || [2,2,−7] π: 2*(x−2)+2*(y−3)−7*(z−1)=0 2x−4+2y−6−7z+7=0 2x+2y−7z−3=0 2*(−2)+2*3−7*8−3=−4+6−56−3≠0⇔H∉π MH^→=[1,2,9]

	1
V=		*| ([5,2,2] x [2,5,2])o[1,2,9] |
	6

|det| 5 2 2 2 5 2 1 2 9 ====== =171

	171
V=
	6

mulen: ok, a punkt symetryczny?

jc: Od punktu H=(−2,3,8) idziemy prostopadle do płaszczyzny 2x+2y−7z=3, a potem jeszcze drugi tyle. No to idziemy: t →(x,y,z) = (−2+2t, 3+2t, 8−7t). Po jakim czasie przetniemy płaszczyznę? 2(−2+2t) + 2(3+2t) − 7 (8−7t) = 3 ⇒ t= 1 Po czasie 2t = 2 znajdziemy się symetrycznie po drugiej stronie: H' = (2,7,−6).

mulen: a skad te (2,2,7) ? Bo mi wychodzilo rownanie plaszczyny (−6.−6.21)

jc: Na ile sposobów możesz napisac równanie ogólne danej płaszczyzny?

Mila: wektory : [−6,−6,21] i [2,2,−7] są równoległe. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A (2,3,1) dla obu wektorów to przekonasz się , że wyjdzie to samo.

Mila: mulen, rzucasz hasło "a punkt symetryczny?" Jaki punkt i względem czego , jaka symetria?

jc: Mila, w treści zadania jest powiedziane: "Następnie wyznacz punkt symetryczny do H względem płaszczyzny zawierającej punkty M,A,T. Potem oblicz odległość H od tej płaszczyzny." (9:59) H' = (2,7,−6) Teraz zauważyłem pytanie o odległość. Aby z punktu H dotrzeć do płaszczyzny musimy wykonać krok (2,2,−7) o długości (2² + 2² + 7²)^1/2 = √57.

Mila: No widzisz, nie doczytałam! Dziękuję jc

Mila: Jeśli nie umiem tak chodzić w przestrzeni , to liczę: H(−2,3,8) π: 2x+2y−7z−3=0

	57
d(H,π)=U{|2*(−2)+2*3−7*8−3|}{√22+22+72=		=√57
	√57

Mila:

	|−4+6−56−3|
d(H,π)=		=√57
	√4+4+49

jc: Nic dziwnego, treść została daleko z nami Na marginesie: widzę, że w szkole ciągle utrzymuje się oznaczenie A(2,3,5). Wydaje się, że lepiej trafia do wyobraźni utożsamienie punktu ze spółrzędnymi A=(2,3,5). Może nawet ładniej wyglądałby taki zapis (A,2,3,5)? Tak samo dziwią mnie współrzędne wektora w nawiasach kwadratowych. Potem na studiach mamy nawiasy okrągłe (nie wiem, jak jest na matematyce! studiowałem fizykę). Rozumiem, że bardzo chcemy odróżnić punkty od wektorów. Nie możemy więc napisać wzoru na środek odcinka w postaci S=(1/2)(A + B). Musimy pisać tak: S = A + (1/2)(B−A). Ma to pewien sens np. w programowaniu w języku C! Adres środka obszaru pamięci liczymy wg drugiego wzoru.

Mila: Zapis H przekopiowałam. W szkole: Punkty najczęściej tak : A=(1,2) Wektory: u^→=[2,4] Zapisów wg Twojej notacji np. S=... nie stosuje się. Współrzędne środka odcinka AB:

	xA+xB		yA+yB
S=(		,		)
	2		2

jc: Dziękuję To nie moja notacja ... Tak pisze Sawyer w swojej książce o uczeniu algebry liniowej w szkole.