Rozwinięcie funkcji w szereg Benny: Dajmy na to mam funkcje f(x)=arctgx i chce ją rozwinąć w szereg potęgowy.

	1		1
Wiem, że		=		=∑(−1)nx2n i wystarczy scałkować, nie zapominając, że
	1+x2		1−(−x2)

działa to dla x∊(−1; 1). Jak to można inaczej rozwiązać?

Benny:

Saizou : jeśli dobrze pamiętam to tak xd w promieniu zbieżności można wszystko

Benny: No tak, ale jak to inaczej rozwiązać Jak wygląda rozwinięcie arctgx w szereg Maclaurina?

Saizou : liczb pochodne do k+1 włącznie pisz wzór na szereg Taylora o środku w zerze + oszacuj resztę (chociaż chyba to będzie zbędne)

jc: Można pewnie zastosować twierdzenie Taylora ... to musi być trudne. Tak jak piszesz jest przecież prosto i ładnie. Przy okazji: szereg dla arctg x jest zbieżny dla x=1. π/4 = arc tg 1 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + ... ale ile trzeba dodać, aby coś uzyskać.

Saizou : jc to chyba z tw. Abela jak dobrze pamiętam ? (zbieżność na brzegach)

Benny: No właśnie nie przerabialiśmy żadnego przykładu z rozwinięciem w szereg Taylora i nie bardzo wiem jak się tę resztę szacuje.

jc: Saizou, dobrze pamiętasz. Pochodne (do tw. Taylora).

	1		1		1		1
(		)(n) =		(		−		)(n)=
	1+x2		2i		x−i		x+i

n! (−1)n		1		1
	(		−		)
2i		(x−i)n+1		(x+i)n+1

Dla x=0 i parzystych n mamy zero. Dla x =0 i n =2k+1 mamy (−1)^k(2k+1)! czy jakoś tak ... no i jeszcze oszcowanie reszty.

Metis: jc jesteś wykładowcą na uczelni?

jc: Już chyba kiedyś pytałeś

Metis: Ale nie odpowiedziałeś albo przeoczyłem odpowiedź