a nick: jak zacząć ta granice? http://imgur.com/TpVJX7g

sew: Funkcje są ciągłe więc można przejść z granicą do środka.

nick: to znaczy?

sew: Policzyć granicę jednej i drugiej. Mamy wówczas symbol nieoznaczony ''0/0'' więc możemy zastosować regułę de l'Hospitala

sew: Liczymy pochodną góry i pochodną dołu przy tej samej granicy cały czas i analizujemy co się dzieje.

nick: tak tylko czy nie da sie uproscic na poczatku? bo te hospitale nie wychodza za fajne a wynik ma wyjsc 1

wredulus_pospolitus: nie ... nie da się nic 'uprościć' na początku jest to typowa granica na rozwiązywanie 'hospitalem'

wredulus_pospolitus: to pokaż jakie Ci wyszły te pochodne:

	x+1
(sin (		) )' =
	x2+3

	x+3
(ln (1 +		) )' =
	x2+7

jc:

	x+1		x+3		h(x)
h(x)=		→0, g(x)=		→ 0,		→1
	x2+3		x2+7		g(x)

	sin h(x)		g(x)		h(x)
f(x)=		*		*		→ 1
	h(x)		ln(1+ g(x))		g(x)

bo każda z trzech granic = 1

wredulus_pospolitus: jc ... tyle że nasz student musiałby wykazać, że:

	g(x)
limg(x) −> 0		= 1
	ln (1+g(x))

ale pomijając to (co jest banalnie proste do udowodnienia) to bardzo fajne podejście do tej granicy

nick: czy sinx/x =1 nie byl przypadkiem tylko w granicy do 0?

nick: bo cala ta granica jest do nieskonczonsci ; /

nick: aa dobra chyba czaje, wlasnie cos takiego nam pokazywal prowadzacy, tylko jak z tym ln wlasnie

jc: h(x) → 0, dlatego [sin h(x)] / h(x) →1 g(x) → 0, dlatego [ln(1+g(x)) ] / g(x) →1 Od biedy można brzydko (Hospital):

	ln(1+t)		1
limt→0		= limt→0		= 1
	t		1+t

jc: idąc do zera po drodze 1/n mamy

ln (1+1/n)
	= n ln(1+1/n) = ln(1+1/n)n →ln e = 1
1/n

No, ale mamy ∞ wiele ciągów zbieznych do zera (o wartościach ≠0).

nick: dzięki wielkie

Mariusz: jc a jak policzysz pochodną logarytmu ? Hospital odpada bo granica którą trzeba policzyć pojawia się podczas liczenia pochodnej

nick: dlaczego nie? (lnx) ' = 1/x (ln(1+t))'= 1/1+t * 1

Mariusz:

	ln(x+Δx)−ln(x)
limΔx→0		=
	Δx

	x+Δx   ln( )   x
limΔx→0
	Δx

	Δx
limΔx→0ln((1+		)1/Δx)
	x

	1
t=
	Δx

	1	1
limΔx→0ln({1+			})t
	x	t

	1	1
=ln(limΔx→0(1+			)t)
	x	t

	1
=ln(e1/x)=
	x

Mariusz: Nick zachęcam cię abyś pochodne potrzebne do reguły de l'Hôpitala liczył z użyciem granic Łatwiej będzie ci sprawdzić czy nie ma przeciwwskazań do jej stosowania

Mariusz: * chyba jednak de l'Hospital powinno się pisać

jc: Mariusz, można tak, jak pokazujesz, podoby rachunek przedstawiłem. Jednak wymaga on uściślenia, które jest nieco kłopotliwe, choć elementarne. Wydaje się, że prościej jest zdefiniować logarytm wzorem

	dt
ln (x) = ∫1x
	t

Wtedy pochodna jest oczywista, podobnie jak własność logarytmu: ln(ab) = ln(a) + ln(b).