nierówność tobiasz: Trudne zadanie Niech a₁,a₂,...,a_n są liczbami rzeczywistymi takimi ze a₁a₂+a₂a₃+...+a_n−1a_n=1. Pokaż a₁²+a₂²+...+a_n² ≥ 1/ (cos ^π_n+1)

g: Podejrzewam że to trzeba zrobić w dwóch krokach.

	n
Po pierwsze: wykazać że a12+...+an2 ≥		(tego nie umiem).
	n−1

	n		1
Po drugie: wykazać że		≥
	n−1		cos(π/(n+1))

Dla n=2 można policzyć i wychodzi równość. Dla n≥3 stosuję nierówność 0≤x≤π/2: cos x ≥ 1−x²/2 wynikającą z rozwinięcia kosinusa w szereg Maclaurina.

	n−1		1
cos(π/(n+1)) ≥ 1−[π/(n+1)]2/2 ≥		= 1−
	n		n

π2		(n+1)2
	≤
2		n

Ta ostatnia nierówność jest spełniona dla n≥3, co dla n=3 można sprawdzić licząc, a dla n>3 tym bardziej, bo z prawej strony jest ciąg rosnący.

tobiasz: no to zostało udowodnić to "po pierwsze"

jc: Gdybyś szukał minimum sumy kwadratów metodą mnozników Lagrange, to jednym z rozwiązań byłby ciąg a_k = C sin( k π/ (n+1)) C dobieramy tak, aby a₁ a₂ + a₂ a₃ + ... +a_n−1 a_n = 1 Dla takich a_k faktycznie zachodzi równość a₁² + a₂² + ... +a_n² = 1/cos(π/(n+1)).

Przemysław: Ten warunek z sumowaniem do 1 trochę zachęca do nierówności Jensena: może można poszukać funkcji f, że:

	π
f(∑ai bi)≤1/(cos		)
	n+1

∑f(a_i) b_i≤a₁²+...+a_n² i b_i=a_i*a_i+1 i f jest wklęsła sumy od i=1, do i=n−1 wtedy:

	π
a12+...+an2≥∑f(ai) bi≥f(∑ai bi)≥1/(cos		)
	n+1

taka tylko myśl https://pl.wikipedia.org/wiki/Nierówność_Jensena

jc: Myślę, że trzeba zdiagonalizować formę kwadratową a₁a₂+a₂a₃ + ... Wektory własne odpowiedniej macierzy należące od wartości własnej (1/2)cos(mπ/(n+1)) będą, jak mi się teraz wydaje, postaci: a_k = sin (kmπ/(n+1)). m = 1,2,...,n. Do sprawdzenia wystarczą wzory na sin sumy i różnicy kątów. Jeszcze trochę trzeba na tym popracować i będzie. Myślę, że nie jest to trudne. Ale teraz mam pilniejsze sprawy.

mac:

	n
a12+...+an2≥
	n+1

Tę nierówność gdzieś widziałem. Jak znajdę to dam dowód dosyć elementarny.

tobiasz: to czekamy

jc: Q = macierz formy kwadratowej a₁a₂ + a₂a₃ + ... + a_n−1a_n. Q v^m = λ_m v^m

	√2		kmπ
vmk =		sin
	√n+1		n+1

	mπ
λm = cos
	n+1

wektory v¹, v², ..., vⁿ, tworzą bazę ortonormalną. W tej bazie nasza forma Q jest diagonalna i warunek piszemy tak λ₁ b₁² + λ₂ b² + ... + λ_n b_n² = 1 Teraz łatwo znaleźć największą wartość b₁²+b₂² + ... + b_n².

	π
Najwiąksza λi to λ1 = cos		. Dlatego wybieramy b12 = 1/λ1, a pozostałe
	n+1

b_i = 0. Wtedy b₁² + b₂² + ... + b_n² osiąga

	π
najmniejszą wartość = 1/λ1 = [ cos		]−1
	n+1

lol: jc czym się zajmujesz?

jc: Skąd znam takie rzeczy? Studiowałem fizykę. W wielu działach wartości i wektory własne są niezwykłe ważne. Gdzie dają takie zadania? Stawiam na matematykę lub właśnie fizykę. Na innych kierunkach raczej się rachuje jakieś całki i granice nie wiadomo do czego potrzebne.

lol: to dobry student z ciebie był