udowodnij, ze... Zaza: Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c takch, że a+b+c=3 prawdziwa jest nierówność a²+b²+c²>=3

ICSP: Wystarczy zastosować nierówność między średnią arytmetyczną oraz kwadratową dla trzech składników.

Jack: @ICSP wiem ze arytmetyczna ≥ geometrycznej Ale jaka jest zasada miedzy arytm i kwadratowa? Oraz czy mozna napisac na maturze ze korzystajac z nierownosci miedzy srednia arytm. I kwadratowa to: ... ?

ICSP: "Nierówności Cauchego dla średnich".

Jack: Ttzeba napisac korzystajac z nierownosci cauchego dla srednich?

ICSP: Poczytaj o nich i będziesz znał zależności.

Jack: Ale chodzi mi o komentarz na maturze

ICSP: Wypisujesz z jakich konkretnie średnich korzystasz.

Zaza: Jest jakiś inny sposób by zrobic to zadanie, bo z średnich żadko korzystałem

ICSP: Jest. Opiera się na równości : a² + b² + c² = (a+b+c)² − 2(ab + bc + ac) oraz nierówności : a² + b² + c² ≥ ab + bc + ac

bezendu: @ICSP zrób porządek z postami wiki

Jack: No to korzystając ze nierownosci miedzy srednia kwadratowa i aytmetyczna

	a2 + b2 + c2		a+b+c
√		≥
	3		3

a2+b2+c2		(a+b+c)2
	≥
3		9

	(a+b+c)2
a2 + b2 + c2 ≥		= 3
	3

Jack: ICSP Jednak nie zachodI ta równość tylko dla liczb dodatnich?

ICSP: Dlaczego miałbym z nimi zrobić porządek ? Każdy zawiera oddzielne zadanie i w dodatku żadny nie zawiera nieodpowiednich treści

Zaza: A jak mam udownic, że: a² + b² + c² ≥ ab + bc + ac czy moze jest to jakies twierdzenie (niespotkałem się z tym wcześniej)

ICSP: a² + b² + c² = (a+b+c)² − 2(ab + bc + ac) Dlaczego niby musiałoby być tutaj ograniczenie do liczb dodatnich ?

ICSP: Rozpisz : (a − b)² + (a − c)² + (a − b)² ≥ 0

Jack: Mialrm na mysli nierownosc miedzy srednimi Czy nie jest tylkod la dodatnich...

ICSP: Kwadratowa − arytmetyczna dla wszyskich arytmetyczna − geometryczna dla dodatnich geometryczna − harmoniczna dla dodatnich

Jack: Hmm...ok

Zaza: Dalej nie wiem skad mam wziaść tą nierówność: (a − b)² + (a − c)² + (b − c)² ≥ 0

ICSP: Nierównośc ta jest prawdziwa dla wszystkich rzeczywsitych a , b , c. Natomiast po rozpisaniu da a² + b² + c² ≥ ab + bc + ac

Zaza: Ok dzięki za pomoc

Jack: Czyli paktycznie kazdy dowod mozna albo srednimi albo algebraicznie rozposac...czym szybciej